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最小生成樹性質1：設G=(V，E)是一個連通網路，U是頂點集V的一個真子集。若(u，v)是G中所有的一個端點在U(u∈U)裡、另一個端點不在U(即v∈V-U)裡的邊中，具有最小權值的一條邊，則一定存在G的一棵最小生成樹包括此邊(u，v)。

證明：
為方便說明，先作以下約定：
　　①將集合U中的頂點看作是紅色頂點，②而V-U中的頂點看作是藍色頂點，③連線紅點和藍點的邊看作是紫色邊，④權最小的紫邊稱為輕邊(即權重最"輕"的邊)。於是，MST性質中所述的邊(u，v)就可簡稱為輕邊。
　　用反證法證明MST性質：
　　假設G中任何一棵MST都不含輕邊(u，v)。則若T是G的一棵MST，則它不含此輕邊。
由於T是包含了G中所有頂點的連通圖，所以T中必有一條從紅點u到藍點v的路徑P，且P上必有一條紫邊(u'，v')連線紅點集和藍點集，否則u和v不連通。當把輕邊(u，v)加入樹T時，該輕邊和P必構成了一個迴路。刪去紫邊(u'，v')後迴路亦消除，由此可得另一生成樹T'。
T'和T的差別僅在於T'用輕邊(u，v)取代了T中權重可能更大的紫邊(u'，v')。因為w(u，v)≤w(u'，v')，所以 w(T')=w(T)+w(u，v)-w(u'，v')≤w(T)
故T'亦是G的MST，它包含邊(u，v)，這與假設矛盾。
所以，MST性質成立。

最小生成樹性質2：其最大邊權為生成樹中最大邊權最小的。

證明
反證法：假設Ta為一棵最小生成樹，Tb為一棵非最小生成樹且其最大邊權小於Ta的最大邊權。
e是最小生成樹Ta的最大邊，e將最小生成樹Ta分為連通的2個部分A->B，Tb的連線A->B的邊權為e1，e1<=eb(Tb上最大邊權）<e,即A->B之間存在一條權值比e更小的連通A和B的邊，故Ta不是最小生成樹，矛盾，故假設不成立。

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Prim演算法與Kruskal演算法是尋找最小生成樹的經典方法，兩者皆為貪心法，一次“生成”一條“安全邊”，如下所示：

GENERIC-MST-FUNCTION (G,w)
1 T := 空集合
2 while T 還不是生成樹
3 do 找出對 T 來說是不會形成cycle，且權重最低的邊 (u, v)
4 T := T U {(u, v)}
5 return T