全排列生成演算法：next_permutation
概念
全排列的生成演算法有很多種，有遞迴遍例，也有迴圈移位法等等。C++/STL中定義的next_permutation和prev_permutation函式則是非常靈活且高效的一種方法，它被廣泛的應用於為指定序列生成不同的排列。本文將詳細的介紹prev_permutation函式的內部演算法。
按照STL文件的描述，next_permutation函式將按字母表順序生成給定序列的下一個較大的序列，直到整個序列為減序為止。prev_permutation函式與之相反，是生成給定序列的上一個較小的序列。二者原理相同，僅遍例順序相反，這裡僅以next_permutation為例介紹演算法。
下文內容都基於一個假設，即序列中不存在相同元素。對序列大小的比較做出定義：兩個長度相同的序列，從兩者的第一個元素開始向後比較，直到出現一個不同元素（也可能就是第它們的第一個元素），該元素較大的序列為大，反之序列為小；若一直到最後一個元素都相同，那麼兩個序列相等。
設當前序列為pn，下一個較大的序列為pn+1，那麼不存在pm，使得pn < pm < pn+1。
問題
給定任意非空序列，生成下一個較大或較小的序列。
數學推導
根據上述概念易知，對於一個任意序列，最小的序列是增序，最大的序列為減序。那麼給定一個pn要如何才能生成pn+1呢？先來看下面的例子：
我們用<a1 a2 ... am>來表示m個數的一種序列。設序列pn=<3 6 4 2>，根據定義可算得下一個序列pn+1=<4 2 3 6>。觀察pn可以發現，其子序列<6 4 2>已經為減序，那麼這個子序列不可能通過交換元素位置得出更大的序列了，因此必須移動最高位3（即a1
下面歸納分析該過程。假設一個有m個元素的序列pn，其下一個較大序列為pn+1
1) 若pn最右端的2個元素構成一個增序子序列，那麼直接反轉這2個元素使該子序列成為減序，即可得到pn+1。
2) 若pn最右端一共有連續的s個元素構成一個減序子序列，令i = m - s，則有pn(i) < pn(i+1)，其中pn(i)表示排列pn的第i個元素。例如pn=<1 2 5 4 3>，那麼pn的右端最多有3個元素構成一個減序子集<5 4 3>，i=5-3=2，則有pn(i)=2 < 5=pn(i+1)。因此若將pn(i)和其右邊的子集s {pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(m)}中任意一個元素調換必能得到一個較大的序列（不一定是下一個）。要保證是下一個較大的序列，必須保持pn(i)左邊的元素不動，並在子集s {pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(m)}中找出所有比pn(i)大的元素中最小的一個pn(j)，即不存在pn(k) ∈ s且pn(i) < pn(k) < pn(j)，然後將二者調換位置。現在只要使新子集{pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(i), ...,pn(m)}成為最小序列即得到pn+1。注意到新子集仍保持減序，那麼此時直接將其反轉即可得到pn+1 {pn(1), pn(2), ..., pn(j), pn(m), pn(m-1), ..., pn(i), ..., pn(i+2), pn(i+1)}。
複雜度
最好的情況為pn的最右邊的2個元素構成一個最小的增序子集，交換次數為1，複雜度為O(1)，最差的情況為1個元素最小，而右面的所有元素構成減序子集，這樣需要先將第1個元素換到最右，然後反轉右面的所有元素。交換次數為1+(n-1)/2，複雜度為O(n)。因為各種排列等可能出現，所以平均複雜度即為O(n)。
擴充套件
1. 能否直接算出集合{1, 2, ..., m}的第n個排列？
設某個集合{a1, a2, ..., am}（a1<a2<...<am）構成的某種序列pn，基於以上分析易證得：若as<at，那麼將as作為第1個元素的所有序列一定都小於at作為第1個元素的任意序列。同理可證得：第1個元素確定後，剩下的元素中若as'<at'，那麼將as'作為第2個元素的所有序列一定都小於作為第2個元素的任意序列。例如4個數的集合{2, 3, 4, 6}構成的序列中，以3作為第1個元素的序列一定小於以4或6作為第1個元素的序列；3作為第1個元素的前題下，2作為第2個元素的序列一定小於以4或6作為第2個元素的序列。
推廣可知，在確定前i（i<n）個元素後，在剩下的m-i=s個元素的集合{aq1, aq2, ..., aq3}（aq1<aq2<...<aqm）中，以aqj作為第i+1個元素的序列一定小於以aqj+1作為第i+1個元素的序列。由此可知：在確定前i個元素後，一共可生成s!種連續大小的序列。
根據以上分析，對於給定的n（必有n<=m!）可以從第1位開始向右逐位地確定每一位元素。在第1位不變的前題下，後面m-1位一共可以生成(m-1)!中連續大小的序列。若n>(m-1)!，則第1位不會是a1，n中可以容納x個(m-1)!即代表第1位是ax。在確定第1位後，將第1位從原集合中刪除，得到新的集合{aq1, aq2, ..., aq3}（aq1<aq2<...<aqm），然後令n1=n-x(m-1)!，求這m-1個數中生成的第n1個序列的第1位。
舉例說明：如7個數的集合為{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，要求出第n=1654個排列。
(1654 / 6!)取整得2，確定第1位為3，剩下的6個數{1, 2, 4, 5, 6, 7}，求第1654 % 6!=214個序列；
(214 / 5!)取整得1，確定第2位為2，剩下5個數{1, 4, 5, 6, 7}，求第214 % 5!=94個序列；
(94 / 4!)取整得3，確定第3位為6，剩下4個數{1, 4, 5, 7}，求第94 % 4!=22個序列；
(22 / 3!)取整得3，確定第4位為7，剩下3個數{1, 4, 5}，求第22 % 3!=4個序列；
(4 / 2!)得2，確定第5為5，剩下2個數{1, 4}；由於4 % 2!=0，故第6位和第7位為增序<1 4>；
因此所有排列為：3267514。
2. 給定一種排列，如何算出這是第幾個排列呢？
和前一個問題的推導過程相反。例如3267514：
後6位的全排列為6!，3為{1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7}中第2個元素（從0開始計數），故2*720=1440；
後5位的全排列為5!，2為{1, 2, 4, 5, 6, 7}中第1個元素，故1*5!=120；
後4位的全排列為4!，6為{1, 4, 5, 6, 7}中第3個元素，故3*4!=72；
後3位的全排列為3!，7為{1, 4, 5, 7}中第3個元素，故3*3!=18；
後2位的全排列為2!，5為{1, 4, 5}中第2個元素，故2*2!=4；
最後2位為增序，因此計數0，求和得：1440+120+72+18+4=1654
C++/STL實現
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#include
<algorithm>
#include
<iostream>
#include
<string>
using namespace std;
//主函式，演算法詳見相關說明
int main(void)
{
//迴圈處理輸入的每一個字串
for (string
str; cin >> str;) {
if (str.empty())
{
continue;
}
//如果字串只有1個字元，則直接輸出結束
if (str.length()
<= 1) {
cout
<< "No
more Permutation" <<
endl;
}
//iPivot為右邊最大減序子集左邊相鄰的一個元素
string::iterator
iPivot = str.end(), iNewHead;
//查詢右邊最大的減序子集
for (--iPivot;
iPivot != str.begin(); --iPivot) {
if (*(iPivot
- 1) <= *iPivot ) {
break;
}
}
//如果整個序列都為減序，則重排結束。
if (iPivot
== str.begin()) {
cout
<< "No
more Permutation" <<
endl;
}
//iPivot指向子集左邊相鄰的一個元素
iPivot--;
//iNewHead為僅比iPivot大的元素，在右側減序子集中尋找
for (iNewHead
= iPivot + 1; iNewHead != str.end(); ++iNewHead) {
if (*iNewHead
< *iPivot) {
break;
}
}
//交換iPivot和iNewHead的值，但不改變它們的指向
iter_swap(iPivot,
--iNewHead);
//反轉右側減序子集，使之成為最小的增序子集
reverse(iPivot
+ 1, str.end());
//本輪重排完成，輸出結果
cout
<< str << endl;
}
return 0;
}
|