單源最短路

該部落格的單源最短路演算法要解決的就是在一個沒有負權邊的圖上，找出所有點與源點 s$s$ 的最短路徑，這樣一個問題。這裡介紹迪傑斯特拉 O(n2)$O(n^2)$ 解法與堆優化 O(mlogm)$O(m\log m)$ 解法，其中 n$n$ 為圖上節點數量，m$m$ 為圖上邊的數量。
不介紹也不推薦玄學複雜度的 spfa$spfa$ 解法。

樸素寫法思路：貪心

1. 首先將所有點與源點的距離設為無窮大（記錄在 dis$dis$ 陣列中），s$s$ 與自己的距離初始化為 0$0$，還有一個表示“已經確定最短路徑長度”的節點集合 Set$Set$。
2. 然後不斷從不屬於 Set$Set$ 集合的點中找到一個 dis$dis$ 最小的點
   x$x$，那麼這個點在以後的操作中一定不會再更新（由於邊權非負，所以如果後面最短路徑將通過其他點 y$y$ 到達 x$x$，那麼這個值最小為 disy+disy→⋯→x≥disy$di{s}_y+di{s}_{y\to \cdots \to x}\ge di{s}_y$，由於 disy≥disx$di{s}_y\ge di{s}_x$，所以可以保證在後續執行過程中 disx$di{s}_x$ 不會被更新為更小的值），將這個點加入集合 Set$Set$ 中，然後更新所有與 x$x$ 相鄰節點的 dist$di{s}_t$ 為 min(dist,disx+disx→t)$min(di{s}_t,di{s}_x+di{s}_{x\to t})$。
3. 不斷重複第二步，直到所有點的最短路徑都被找到 / 所有點都在 Set$Set$ 集合中。

樸素寫法時間複雜度

從上面的演算法可以看出，大迴圈要將所有點都加入集合一次，而每次尋找這個“不在集合中且 disx$di{s}_x$ 最小的點”需要一次 O(n)$O(n)$ 的迴圈，接著更新所有與 x$x$ 鄰接的點（最多有 n$n$ 個點），這裡也需要 O(n)$O(n)$，所以大迴圈為 O(n)$O(n)$，小迴圈為 O(n+n)$O(n+n)$，整體時間複雜度為 O(n×(n+n))=O(n2)$O(n\times (n+n))=O(n^2)$。

O(n2)$O(n^2)$ 程式碼

const int maxn = 1000 + 100;
struct Node {
    int pos;
    int dis;
    Node() {}
    Node(int
 
 p, int d) {
        pos = p;
        dis = d;
    }
};
int n;
int dis[maxn];
bool vis[maxn];
vector<Node> G[maxn];

void dij(int s) {
    // 距離初始化
    fill(dis, dis + n + 1, INT_MAX);
    dis[s] = 0;
    int cnt = n;
    // cnt 表示不在集合中的節點個數
    while(cnt > 0) {
        int Min = INT_MAX;
        int x;
        // 尋找不在集合中的，距離 s 最近的節點
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            if(!vis[i] && dis[i] < Min) {
                Min = dis[i];
                x = i;
            }
        }
        // 將節點 x 加入集合
        --cnt;
        vis[x] = true;
        // 更新節點 x 的鄰接節點
        int len = G[x].size();
        for(int i = 0; i < len; ++i) {
            int pos = G[x][i].pos;
            int d = G[x][i].dis;
            dis[pos] = min(dis[pos], dis[x] + d);
        }
    }
}

堆優化

上面能夠優化的時間複雜度是在“找到不在集合中的離 s$s$ 最近的點”（每個點必須要進入集合才算更新結束，所以大迴圈的 O(n)$O(n)$ 是無法減小的），我們能否通過一些排序操作，使得能夠快速地找到這個點 x$x$ 呢？
這裡就可以用到一個“小頂堆”的資料結構，它能夠在 O(logn)$O(\log n)$（其中 n$n$ 為堆中的元素數量）的時間複雜度內完成插入、刪除最小值的操作，在 O(1)$O(1)$ 的時間複雜度內完成取堆內最小值的操作。於是我們可以將上面的查詢這一步操作放入到堆中，時間複雜度就能下降到 O(logn)$O(\log n)$。
但這裡要注意一點，在我們查詢之後，是可以更新這個點的最短距離的，但是小頂堆不允許訪問、更改堆內元素，只能訪問堆頂元素，所以如果將點與當前最短距離放入堆內，將存在一些多餘的點（更新時該點還未從堆頂彈出），而這些所有資料最多有 m$m$ 個，m$m$ 為圖上邊的數量。
這裡可以標記某個點 x$x$ 已經在 Set$Set$ 集合中，這樣在其他指向 x$x$ 的點更新到

相關推薦

牛客國慶集訓派對Day3 I-Metropolis （迪傑斯特拉堆優化）

題目描述 魔方國有n座城市，編號為。城市之間通過n-1條無向道路連線，形成一個樹形結構。 在若干年之後，其中p座城市發展成了大都會，道路的數量也增加到了m條。 大都會之間經常有貿易往來，因此，對於每座大都會，請你求出它到離它最近的其它大都會的距離。 輸入描述: 第一

迪傑斯特拉 & 堆優化

單源最短路 該部落格的單源最短路演算法要解決的就是在一個沒有負權邊的圖上，找出所有點與源點 ss 的最短路徑，這樣一個問題。這裡介紹迪傑斯特拉 O(n2)O(n2) 解法與堆優化 O(mlogm)O(mlog⁡m) 解法，其中 nn 為圖上節點數量，mm 為圖

堆優化的dijkstra(迪傑斯特拉)

前面在講prim演算法的時候已經提到了dijkstra，這裡再說說求最短路的dijkstra演算法； 相比於鄰接矩陣的存圖方式我們可以用更適用於做題的鏈式前向星，更省空間； 我們也可以用STL的priority_queue優先佇列進行優化（手寫堆太麻煩了~~） 下面看程式碼

迪傑斯特拉之優先佇列優化

暢通工程續 Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 71927&

迪傑斯特拉（優先佇列優化）

使用鄰接矩陣實現的dijkstra演算法的複雜度是O(V²)。使用鄰接表的話，更新最短距離只需要訪問每條邊一次即可，因此這部分的複雜度是O(E).但是每次要列舉所有的頂點來查詢下一個使用的頂點，因此最終複雜度還是O(V²)。在|E|比較小時，大部分的時間都花在了

Codeforces Round #303 (Div. 2) E 最短路迪傑斯特拉(小根堆實現)

連結：戳這裡 E. Paths and Trees time limit per test3 seconds memory limit per test256 megabytes inputstandard input outputstandard output

深入理解Dijkstra（迪傑斯特拉）演算法（正確思路+優化+原理）

這裡需要一個很好的例子，這裡先拿網上流傳的例子作為反例。 問題1：不符合勾股定理 AC=3，CB=2，AB=6 難道這樣真的無傷大雅嗎？假設你的起點是A，終點是B，難道不應該是兩點之間線段最短嗎？、 問題2：完美地掃到了每個點 按照他的思維邏輯來，確實每個點都可以掃

總結一下最短路徑的迪傑斯特拉演算法(Dijkstra)的基本內容以及用鄰接表優化

前面轉了兩篇部落格說了一下這個迪傑斯特拉演算法，現在自己嘗試總結一下。 先上一個百度百科的定義：迪傑斯特拉演算法 --------------------------------------------------------------------------------

迪傑斯特拉/dijkstra 算法模板（具體凝視）

定義 ostream all popu post 路徑 ret typedef tdi #include <iostream> #include <malloc.h> #include <cstring> #include &l

最短路徑之迪傑斯特拉算法的Java實現

spa visit art 方式 pat fin img 叠代算法 屬於 　　Dijkstra算法是最短路徑算法中為人熟知的一種，是單起點全路徑算法。該算法被稱為是“貪心算法”的成功典範。本文接下來將嘗試以最通俗的語言來介紹這個偉大的算法，並賦予java實現代碼。 一、知識

最短路徑算法——迪傑斯特拉（Dijkstra）

graph 就是 print 偽代碼 c語言程序 距離 oid 很大的 全部 算法思想 設G=(V,E)是一個帶權有向圖 把圖中頂點集合V分成兩組 第一組為已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，以後每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到全部

學習筆記：迪傑斯特拉算法

最短 重復 con cin main 單源最短路徑算法 路徑 class bool 一、算法概要 1.迪傑斯特拉算法是典型的單源最短路徑算法。 2.主要特點是以起始點為中心向外擴展，直到擴展至終點為止。 二、算法步驟 1.將圖中的頂點劃分為兩組，第一組為已求出最短路徑的

筆記：最短路徑算法—Dijkstra(迪傑斯特拉)

意思 最終 else min out 拓展 clas stream 便是 文中代碼下如下： #include<iostream> #include<cstdio> #include<fstream> #include<algor

牛客網NowCoder 2018年全國多校算法寒假訓練營練習比賽（第四場）A.石油采集(dfs) B.道路建設(最小生成樹prim) C.求交集(暴力) F.Call to your teacher(迪傑斯特拉亂用) H.老子的全排列呢(dfs)

初始 -o 地圖 意義 技術 tle bject ios urn 菜哭了。。。 A.石油采集 時間限制：C/C++ 1秒，其他語言2秒 空間限制：C/C++ 32768K，其他語言65536K 64bit IO Format: %lld 鏈

POJ 3268 迪傑斯特拉圖論 置換找最短路

繼續 with style pro end #define farm sca .net 題目：https://vjudge.net/problem/POJ-3268 One cow from each of N farms (1 ≤ N ≤ 1000) conveni

數據結構 - 單源最短路徑之迪傑斯特拉（Dijkstra）算法詳解(Java)

previous 代碼 map class matrix () count 就是 可能 　　給出一個圖，求某個端點（goal）到其余端點或者某個端點的最短路徑，最容易想到的求法是利用DFS，假設求起點到某個端點走過的平均路徑為n條，每個端點的平均鄰接端點為m，那求出這個最短

[數據結構]迪傑斯特拉（Dijkstra）算法

graph tegra src img exe 經歷 mage length arraylist 基本思想 通過Dijkstra計算圖G中的最短路徑時，需要指定起點vs(即從頂點vs開始計算)。 此外，引進兩個集合S和U。S的作用是記錄已求出最短路徑

問題 1708: 演算法7-15：迪傑斯特拉最短路徑演算法

題目描述 在帶權有向圖G中，給定一個源點v，求從v到G中的其餘各頂點的最短路徑問題，叫做單源點的最短路徑問題。 在常用的單源點最短路徑演算法中，迪傑斯特拉演算法是最為常用的一種，是一種按照路徑長度遞增的次序產生最短路徑的演算法。 可將迪傑斯特拉演算法描述如下： 在本題中，讀

最短路——迪傑斯特拉演算法

1.在圖論中經常會碰到最短路問題。最短路顧名思義就是在有向連通圖（也就是連通網）中尋找兩點之間的最短距離。為了解決這個問題人們提出了很多行之有效的演算法，這其中有著名的五大演算法：Dijkstra演算法，SPFA演算法，Floyd演算法，Bellman-Ford演算法，以及基於啟發式搜尋的A*演算法

資料結構之圖（帶權圖 迪傑斯特拉演算法）

// 主要思想是： 每次尋找最小的邊  這樣的話從上一個節點 到這個節點的值 是最小的 當找到最小的邊時，把final[v] = true 表示從原點到這個節點的最小值 已經找到了   <!DOCTYPE html> <html> &l