多項式

由若干個單項式相加組成的代數式叫做多項式
形如：f(x)=∑ni=0aixi$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$，
degf(x)$\mathrm{deg}f(x)$稱為f$f$的度，是f(x)$f(x)$最高次項的次數。

生成函式

形如∑∞i=0aixi$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{x}^i$
生成函式又稱母函式，往往和多項式演算法聯絡起來起到優化轉移的作用

多項式演算法

加減法

多項式加減法比較簡單
若f(x)=∑ni=0aixi$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$，g(x)=∑ni=0bixi$g(x)=\sum _{i=0}^n{b}_i{x}^i$

則(f±g)(x)=∑ni=0(ai±bi)xi$(f\pm g)(x)=\sum _{i=0}^n(a_i\pm b_i)x^i$

程式碼實現也比較簡單

乘法

多項式乘法是所有多項式演算法的基礎，也是生成函式的卷積運算

若f(x)=∑ni=0aixi$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$，g(x)=∑ni=0bixi$g(x)=\sum _{i=0}^n{b}_i{x}^i$

則(f×g)(x)=∑2ni=0∑ij=0aj×bi−jxi$(f\times g)(x)=\sum _{i=0}^{2n}\sum _{j=0}^i{a}_j\times b_{i-j}{x}^i$

樸素的多項式乘法是O(n2)$O(n^2)$的，但FFT（快速傅立葉變換）運用複數根的特性可以在O(nlogn)$O(n\log n)$的複雜度內實現多項式的係數表達和點值表達的轉化，運用點值表達實現O(n)$O(n)$的相乘，總複雜度就是O(nlogn)$O(n\log n)$，但是因為常數過大，往往小範圍會使用暴力。

inline void FFT(E *a,int r){
  for(int i=0;i<n;i++) if(rev[i]>i) swap(a[rev[i]],a[i]);
  for(int i=1;i<n;i<<=1){
    E wn(cos(M_PI/i),r*sin(M_PI/i));
    for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
      E w(1,0);
      for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn){
    E x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
    a[j+k]=x+y
 
; a[j+k+i]=x-y;
      }
    }
  }
  if(r==-1) for(int i=0;i<n;i++) a[i].real/=n;
}

運用生成函式的計數問題往往會對一個質數取模，如果這個質數可以表示成k×2n+1$k\times 2^n+1$，其中k$k$為奇數n$n$大於多項式的度數，那麼就可以用這個質數的原根代替複數根，實現多項式的係數對一個質數取模，這個演算法就是NTT（快速數論變換），這種模數稱為NTT模數。

inline void Pre(int n){
  num=n;
  int g=Pow(3,(P-1)/num);
  w[0][0]=w[1][0]=1; for(int i=1;i<num;i++) w[0][i]=1LL*w[0][i-1]*g%P;
  for(int i=1;i<num;i++) w[1][i]=w[0][num-i];
}

inline void NTT(int *a,int n,int r){
  for(int i=1;i<n;i++) if(rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int i=1;i<n;i<<=1)
    for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
      for(int k=0;k<i;k++){
        int x=a[j+k],y=1LL*a[j+k+i]*w[r][num/(i<<1)*k]%P;
        a[j+k]=(x+y)%P; a[j+k+i]=(x+P-y)%P;
      }
  if(!r) for(int i=0,inv=Pow(n,P-2);i<n;i++) a[i]=1LL*a[i]*inv%P;
}

不過有些喪心病狂的題的模數不是NTT模數，這個時候需要CRT合併。

多項式求逆

最後會得到f(x)=f(x)g(x)+1$f(x)=f(x)g(x)+1$，這是一個非齊次線性遞推，因為求的第n項不大，只要直接求出f(x)$f(x)$就行了

很容易可以得到f(x)=11−g(x)$f(x)=\frac{1}{1-g(x)}$，如果令

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