1.基礎知識普及

二分圖的概念

二分圖又稱作二部圖，是圖論中的一種特殊 模型。 設G=(V,{R})是一個無向圖。如頂點集V可分 割為兩個互不相交的子集，並且圖中每條邊 依附的兩個頂點都分屬兩個不同的子集。則圖G成為二分圖。
通俗來講，二分圖指的是這樣一種圖：其所有的頂點分成兩個集合M和N，其中M或N中任意兩個在同一集合中的點都不相連。

二分圖匹配

是指求出一組邊，其中的頂點分別在兩個集合中，並且任意兩條邊都沒有相同的頂點，這組邊叫做二分圖的匹配，所有的匹配中，邊數最多、權值之和最大的那個匹配，叫做最大匹配。

完全匹配

如果一個匹配中，圖中的每一個頂點都和圖 中某條邊相關聯，則稱此匹配為完全匹配 完全匹配， 完全匹配 也稱作完備匹配。

2.基本演算法

二分圖如果是沒有權值的，求最大匹配。則是用匈牙利演算法求最大匹配。如果帶了權值，求最大或者最小權匹配，則必須用KM演算法。

其實最大和最小權匹配都是一樣的問題。只要會求最大匹配，如果要求最小權匹配，則將權值取相反數，再把結果取相反數，那麼最小權匹配就求出來了。

2.1 匈牙利演算法

2.2 KM演算法

KM演算法用來解決最大權匹配問題： 在一個二分圖內，左頂點為X，右頂點為Y，現對於每組左右連線XiYj有權wij，求一種匹配使得所有wij的和最大。也就是最大權匹配一定是完備匹配。如果兩邊的點數相等則是完美匹配。如果點數不相等，其實可以虛擬一些點，使得點數相等，也成為了完美匹配。最大權匹配還可以用最大流去解決

Kuhn－Munkras演算法流程：

　　(1)初始化可行頂標的值

　　(2)用匈牙利演算法尋找完備匹配

　　(3)若未找到完備匹配則修改可行頂標的值

　　(4)重複(2)(3)直到找到相等子圖的完備匹配為止　

// GY0218.cpp : 定義控制檯應用程式的入口點。
//

#include "stdafx.h"


#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <memory.h>  
#include <algorithm>   

using namespace std;  

#define MAX 100  
 


int n;  
int weight[MAX][MAX];           //權重  
int lx[MAX],ly[MAX];                //定點標號  
bool sx[MAX],sy[MAX];          //記錄尋找增廣路時點集x，y裡的點是否搜尋過  
int match[MAX];                       //match[i]記錄y[i]與x[match[i]]相對應  

bool search_path(int u) {          //給x[u]找匹配,這個過程和匈牙利匹配是一樣的  
        sx[u]=true;  
        for(int v=0; v<n; v++){  
                if(!sy[v] &&lx[u]+ly[v] == weight[u][v]){  
                        sy[v]=true;  
                        if(match[v]==-1 || search_path(match[v])){  
                                match[v]=u;  
                                return true;  
                        }  
                }  
        }  
        return false;  
}  

int Kuhn_Munkras(bool max_weight){  
        if(!max_weight){ //如果求最小匹配，則要將邊權取反  
                for(int i=0;i<n;i++)  
                        for(int j=0;j<n;j++)  
                                weight[i][j]=-weight[i][j];  
        }  
        //初始化頂標，lx[i]設定為max(weight[i][j] | j=0,..,n-1 ), ly[i]=0;  
        for(int i=0;i<n;i++){  
                ly[i]=0;  
                lx[i]=-0x7fffffff;  
                for(int j=0;j<n;j++)  
                        if(lx[i]<weight[i][j])  
                                lx[i]=weight[i][j];  
        }  

        memset(match,-1,sizeof(match));  
        //不斷修改頂標，直到找到完備匹配或完美匹配  
        for(int u=0;u<n;u++){   //為x裡的每一個點找匹配  
                while(1){  
                        memset(sx,0,sizeof(sx));  
                        memset(sy,0,sizeof(sy));  
                        if(search_path(u))       //x[u]在相等子圖找到了匹配,繼續為下一個點找匹配  
                                break;  
                        //如果在相等子圖裡沒有找到匹配，就修改頂標，直到找到匹配為止  
                        //首先找到修改頂標時的增量inc, min(lx[i] + ly [i] - weight[i][j],inc);,lx[i]為搜尋過的點，ly[i]是未搜尋過的點,因為現在是要給u找匹配，所以只需要修改找的過程中搜索過的點，增加有可能對u有幫助的邊  
                        int inc=0x7fffffff;  
                        for(int i=0;i<n;i++)  
                                if(sx[i])  
                                        for(int j=0;j<n;j++)  
                                                if(!sy[j]&&((lx[i] + ly [j] - weight[i][j] )<inc))  
                                                        inc = lx[i] + ly [j] - weight[i][j] ;  
                         //找到增量後修改頂標，因為sx[i]與sy[j]都為真，則必然符合lx[i] + ly [j] =weight[i][j]，然後將lx[i]減inc，ly[j]加inc不會改變等式，但是原來lx[i] + ly [j] ！=weight[i][j]即sx[i]與sy[j]最多一個為真，lx[i] + ly [j] 就會發生改變，從而符合等式，邊也就加入到相等子圖中  
                        if(inc==0)  cout<<"fuck!"<<endl;  
                        for(int i=0;i<n;i++){  
                                if(sx[i])   //  
                                        lx[i]-=inc;  
                                if(sy[i])  
                                        ly[i]+=inc;  
                        }  
                }  

        }  
        int sum=0;  
        for(int i=0;i<n;i++)  
                if(match[i]>=0)  
                        sum+=weight[match[i]][i];  

        if(!max_weight)  
                sum=-sum;  
        return sum;  


}  
int main(){  

        scanf("%d",&n);  
        for(int i=0;i<n;i++)  
                for(int j=0;j<n;j++)  
                        scanf("%d",&weight[i][j]);

        printf("%d\n",Kuhn_Munkras(1));  
        system("pause");  
        return 0;  
}