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題意：圓內或者圓周上有兩個點p和q，圓心為o，並且op=oq，讓你在圓上找一點d，使得dp+dq最小

官方題解：

為什麼是中垂線上的點取得最小值？
個人理解應該是類似於這種情況吧，不過任誰做這道題時首先想到的應該都是中垂線吧。。

還有就是極端情況，做出反演點（什麼是反演點）

如果直線p′q′與圓有交點，則答案為兩點間距離
否則答案就在中垂線上取到

看著題解寫程式碼很簡單，問題就是這些結論怎麼證的（蒻蒻記住結論，求路過的大佬解惑）。。。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const
 
 double eps=1e-8;

struct point//點
{
    double x,y;
    point() {}
    point(double X,double Y)
    {
        x=X,y=Y;
    }
};

double xmult(point p1,point p2,point p0)//叉積
{
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}

double dis(point p1,point p2)//兩點間距離
{
    return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));
}

double
 
 disptoline(point p,point l1,point l2)//點到直線的距離
{
    return fabs(xmult(p,l1,l2))/dis(l1,l2);
}

int intersect_line_circle(point c,double r,point l1,point l2)//判定直線是否與圓相交
{
    return disptoline(c,l1,l2)<r+eps;
}

int main()
{
    int T_T;
    double r,ans;
    point p,q,o(0,0);
    scanf("%d",&T_T);
    while
 
(T_T--)
    {
        scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&r,&p.x,&p.y,&q.x,&q.y);
        double op=dis(p,o);
        if(p.x==q.x&&p.y==q.y)//特判兩點在同一位置
            ans=2.0*(r-op);
        else
        {
            point p1(r*r/op/op*p.x,r*r/op/op*p.y),q1(r*r/op/op*q.x,r*r/op/op*q.y);//p'和q'
            if(intersect_line_circle(o,r,p1,q1))//判定直線是否與圓相交
                ans=dis(p1,q1)*op/r;
            else
            {
                point mid((q1.x+p1.x)/2,(q1.y+p1.y)/2);//兩個反演點的中點
                double k=r/dis(mid,o);//比例
                point d(k*mid.x,k*mid.y);//得到中垂線上的點
                ans=2*dis(d,q);//兩點到中垂線的距離相等所以×2
            }
        }
        printf("%.7lf\n",ans);
    }
    return 0;
}

ps：解釋一下程式碼中的ans=dis(p1,q1)*op/r
反演點有一個定理:

                           dpdp′=opop′−−√   （d為圓上任意一點）

又op∗op′=r2

則dp=dp′∗op2r2−−−√=dp′∗opr
同理可得dq=dq′∗op2r2−−−√=dq′∗oqr
又op=oq，因此ans=dis(p1,q1)*op/r