機器學習一：線性迴歸 (Linear Regression)
1.基本問題
線性迴歸屬於有監督的演算法，用來做迴歸預測。在實際的有監督迴歸問題中，我們通過擬合係數 
表達方式：
（1）單變數線性迴歸（因為只含有一個特徵/輸入變數）
其中，
是輸入變數，
是樣本個數，
是真實值。
（2）多變數線性迴歸（含有n個特徵/輸入變數）
這個公式中有個引數和
個變數，為了使公式能夠簡化一些，引入一個變數
此時模型中的引數是一個維的向量，將公式簡化如下：
其中，
2.公式推導（求解代價函式
）
（1）梯度下降
梯度下降背後的思想是：開始時我們隨機選擇一個引數的組合，計算代價函式，然後我們尋找下一個能讓代價函式值下降最多的引數組合。我們持續這麼做直到得到一個區域性最小值（local minimum），因為我們並沒有嘗試完所有的引數組合，所以不能確定我們得到的區域性最小值是否便是全域性最小值（global minimum），選擇不同的初始引數組合，可能會找到不同的區域性最小值。
批量梯度下降（batch gradient descent）演算法的公式為：
其中
梯度下降中，我們要更新
求導過程（單變數）：
演算法為：
求導過程（多變數）：
”批量梯度下降”，指的是在梯度下降的每一步中，我們都用到了所有的訓練樣本，在梯度下降中，在計算微分求導項時，我們需要進行求和運算，所以，在每一個單獨的梯度下降中，我們最終都要計算這樣一個東西，這個項需要對所有m個訓練樣本求和。
由上面的單變數求導過程我們可以得到多變數的求導結果：
同時，我們也可以類似於簡化多變數模型
其中，
（2）正規方程：
對於某些線性迴歸問題，正規方程方法是更好的解決方案，個人覺得在寫程式碼的時候用著也方便。正規方程是通過求解方程：
正規方程求解過程（以多變數為例）：
將
其中
行
列的矩陣（
為樣本個數，
為特徵個數），
為
行1列的矩陣，
行1列的矩陣，對J進行如下變換
對θ求偏導，其中用到兩個公式
令
3.程式碼部分：
在sklearn中可以直接呼叫，下面是一個簡單的例子。
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
diabetes = datasets.load_diabetes()
diabetes_X = diabetes.data
diabetes_X_train = diabetes_X[:-20]
diabetes_X_test = diabetes_X[-20:]
diabetes_y_train = diabetes.target[:-20]
diabetes_y_test = diabetes.target[-20:]
regr = LinearRegression() # Create linear regression object
regr.fit(diabetes_X_train, diabetes_y_train) # Train the model using the training sets
diabetes_y_pred = regr.predict(diabetes_X_test) # Make predictions using the testing set
print('Coefficients: \n', regr.coef_) # The coefficients
# The mean squared error
print("Mean squared error: %.2f" % mean_squared_error(diabetes_y_test, diabetes_y_pred))
# Explained variance score: 1 is perfect prediction
print('Variance score: %.2f' % r2_score(diabetes_y_test, diabetes_y_pred))4.參考
（2）Coursera-ML-AndrewNg-Notes-master