斯特林數應用
阿新 • • 發佈：2018-12-25
n) begin mes n! 一行 spl 函數 未知數 display
這個式子說明下降冪的系數是有符號第一類斯特林數。
\[x^n=[0,n]\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\underline{i}}\]
\[x^{\overline{n}}=[0,k]\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\]
\[x^{n}=[0,n](\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\overline{i}})\times(-1)^i\]
好有規律是不是。
\[\Large{正降卷升，一中二歧}\]
好好記啊！
基礎定義不再說明。請先學完數學基礎I~IV、多項式基礎I~II、生成函數、組合基礎I~II再來看這篇。
排列到循環
\[n!=\begin{bmatrix}n\\ [1,n]\end{bmatrix}\]
證明：一個排列對應若幹個循環。
求一行第一類斯特林數
由上，可以先用分治FFT求下降冪系數，然後可以直接算出答案。
還有\(O(n\log n)\)的做法。
求一行第二類斯特林數
先用容斥原理算出第二類斯特林數通項公式，然後化成卷積形式，用一次FFT即可。
次冪轉換
\[x^{\underline{n}}=[0,n](\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i)\times(-1)^i\]
這個式子說明下降冪的系數是有符號第一類斯特林數。
\[x^n=[0,n]\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\underline{i}}\]
\[x^{\overline{n}}=[0,k]\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\]
\[x^{n}=[0,n](\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\overline{i}})\times(-1)^i\]
好有規律是不是。
\[\Large{正降卷升，一中二歧}\]
斯特林反演
把上面找兩個未知數系數相同的式子拼起來就行了。
\[\Large{一正二卷，一卷二正}\]
好好記啊！
反轉公式
把上面一個式子代到另一個式子裏就行了。
斯特林數應用