B樹(也叫B-樹)、B+樹、B*樹
0. 簡介
在此宣告，B-Tree最正確的翻譯應該為B樹，而不是B-樹，也即並沒有B-樹的說法，二叉樹叫Binary Tree，二叉搜尋樹叫Binary Search Tree（BST）B樹叫Balance Tree，簡寫為B-Tree (注意是這兩個單詞連起來的意思，不是減號)，B+樹是B+ Tree。
1. BST(Binary Search Tree,即二叉搜尋樹,並不是B樹)
- 所有非葉子結點至多擁有兩個兒子（Left和Right,可以只有一個）;
- 所有結點儲存一個關鍵字；
- 非葉子結點的左指標指向小於其關鍵字的子樹，右指標指向大於其關鍵字的子樹；
如：
B樹的搜尋，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那麼就命中；否則，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；如果比結點關鍵字大，就進入右兒子；如果左兒子或右兒子的指標為空，則報告找不到相應的關鍵字；
如果BST樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多（平衡），那麼B樹的搜尋效能逼近二分查詢；但它比連續記憶體空間的二分查詢的優點是，改變B樹結構（插入與刪除結點）不需要移動大段的記憶體資料，甚至通常是常數開銷；
如：
右邊也是一個BST樹，但它的搜尋效能已經是線性的了；同樣的關鍵字集合有可能導致不同的樹結構索引；所以，使用BST樹還要考慮儘可能讓B樹保持左圖的結構，和避免右圖的結構，也就是所謂的“平衡”問題;
實際使用的BST樹都是在原BST樹的基礎上加上平衡演算法，即“平衡二叉樹”；如何保持BST樹結點分佈均勻的平衡演算法是平衡二叉樹的關鍵；平衡演算法是一種在BST樹中插入和刪除結點的策略；
2. B樹也翻譯為B-樹(是一種多路搜尋樹 並不是二叉的)
- 定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子；且M>2；
- 根結點的兒子數為[2, M]；
- 除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]；
- 每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）
- 非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指標個數-1；
- 非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
- 非葉子結點的指標：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；
- 所有葉子結點位於同一層；
如：（M=3）
B-樹的搜尋，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查詢，如果命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指標為空，或已經是葉子結點；
B-樹的特性：
- 關鍵字集合分佈在整顆樹中；
- 任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；
- 搜尋有可能在非葉子結點結束；
- 其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢；
- 自動層次控制；
由於限制了除根結點以外的非葉子結點，至少含有M/2個兒子，確保了結點的至少利用率，其最底搜尋效能為O(log2N),M為設定的非葉子結點最多子樹個數，N為關鍵字總數；所以B-樹的效能總是等價於二分查詢（與M值無關），也就沒有B樹平衡的問題；
3. B+樹(B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜尋樹)
- 其定義基本與B-樹同，除了：
- 非葉子結點的子樹指標與關鍵字個數相同；
- 非葉子結點的子樹指標P[i]，指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹
（B-樹是開區間）； - 為所有葉子結點增加一個鏈指標；
- 所有關鍵字都在葉子結點出現；
如：（M=3）
B+的搜尋與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹可以在非葉子結點命中），其效能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢；
B+的特性：
1.所有關鍵字都出現在葉子結點的連結串列中（稠密索引），且連結串列中的關鍵字恰好是有序的；
2.不可能在非葉子結點命中；
3.非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是儲存（關鍵字）資料的資料層；
4.更適合檔案索引系統；
4. B*樹(B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標)
B樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3) * M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）；
B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的資料複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指標；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指標；
B樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指標；
所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；
5. 小結
- BST樹：二叉樹，每個結點只儲存一個關鍵字，等於則命中，小於走左結點，大於走右結點；
- B樹(錯誤叫法是B-樹)：多路搜尋樹，每個結點儲存M/2到M個關鍵字，非葉子結點儲存指向關鍵字範圍的子結點；所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；
- B+樹：在B-樹基礎上，為葉子結點增加連結串列指標，所有關鍵字都在葉子結點中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；B+樹總是到葉子結點才命中；
- B*樹：在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加連結串列指標，將結點的最低利用率從1/2提高到2/3；