重溫資料結構：理解 B 樹、B+ 樹特點及使用場景
讀完本文你將瞭解：
大家好，前面那篇文章《3 分鐘理解完全二叉樹、平衡二叉樹、二叉查詢樹》中我們瞭解了幾種特殊的二叉樹的功能及特點，知道了它們在進行查詢資料時可以提高效率，但需要注意的是，這是指在記憶體中進行查詢。如果有海量的資料，不可能一次性讀取到記憶體中，這時候就要考慮的是，如何在磁碟中快速找到需要的資料。
今天這篇文章中要介紹的“B 樹、B+ 樹”，他們的使用場景是：查詢磁碟中的大量資料。
B 樹
B 樹就是常說的“B 減樹（B- 樹）”，又名平衡多路（即不止兩個子樹）查詢樹，它和平衡二叉樹的不同有這麼幾點：
- 平衡二叉樹節點最多有兩個子樹，而 B 樹每個節點可以有多個子樹，M 階 B 樹表示該樹每個節點最多有 M 個子樹
- 平衡二叉樹每個節點只有一個數據和兩個指向孩子的指標，而 B 樹每個中間節點有 k-1 個關鍵字（可以理解為資料）和 k 個子樹（ **k 介於階數 M 和 M/2 之間，M/2 向上取整）
- B 樹的所有葉子節點都在同一層，並且葉子節點只有關鍵字，指向孩子的指標為 null
和平衡二叉樹相同的點在於：B 樹的節點資料大小也是按照左小右大，子樹與節點的大小比較決定了子樹指標所處位置。
看著概念可能有點難理解，來看看圖對比下平衡二叉樹和 B 樹。
對比平衡二叉樹和 B 樹
首先是節點， 平衡二叉樹的節點如下圖所示，每個節點有一個數據和最多兩個子樹：
B 樹中的每個節點由兩部分組成：
- 關鍵字（可以理解為資料）
- 指向孩子節點的指標
B 樹的節點如下圖所示，每個節點可以有不只一個數據，同時擁有資料數加一個子樹，同時每個節點左子樹的資料比當前節點都小、右子樹的資料都比當前節點的資料大：
上圖是為了方便讀者理解 B 樹每個節點的內容，實際繪製圖形還是以圓表示每個節點。
瞭解了節點的差異後，來看看 B 樹的定義，一棵 B 樹必須滿足以下條件：
- 若根結點不是終端結點，則至少有2棵子樹
- 除根節點以外的所有非葉結點至少有 M/2 棵子樹，至多有 M 個子樹（關鍵字數為子樹減一）
- 所有的葉子結點都位於同一層
用一張圖對比平衡二叉樹和 B 樹：
可以看到，B 樹的每個節點可以表示的資訊更多，因此整個樹更加“矮胖”，這在從磁碟中查詢資料（先讀取到記憶體、後查詢）的過程中，可以減少磁碟 IO 的次數，從而提升查詢速度。
B 樹中如何查詢資料
因為 B 樹的子樹大小排序規則，因此在 B 樹中查詢資料時，一般需要這樣：
- 從根節點開始，如果查詢的資料比根節點小，就去左子樹找，否則去右子樹
- 和子樹的多個關鍵字進行比較，找到它所處的範圍，然後去範圍對應的子樹中繼續查詢
- 以此迴圈，直到找到或者到葉子節點還沒找到為止
B 樹如何保證平衡
我們知道，平衡的樹之所以能夠加快查詢速度，是因為在新增、刪除的時候做了某些操作以保證平衡。
平衡二叉樹的平衡條件是：左右子樹的高度差不大於 1；而 B 樹的平衡條件則有三點：
- 葉子節點都在同一層
- 每個節點的關鍵字數為子樹個數減一（子樹個數 k 介於樹的階 M 和它的二分之一
- 子樹的關鍵字保證左小右大的順序
也就是說，一棵 3 階的 B 樹（即節點最多有三個子樹），每個節點的關鍵字數最少為 1，最多為 2，如果要新增資料的子樹的關鍵字數已經是最多，就需要拆分節點，調整樹的結構。
網上找到一張很不錯的動圖，我們來根據它分析下 B 樹新增元素時如何保證平衡。
這個圖用以表示往 4 階 B 樹中依次插入下面這組資料的過程：
6 10 4 14 5 11 15 3 2 12 1 7 8 8 6 3 6 21 5 15 15 6 32 23 45 65 7 8 6 5 4
建議放大圖檢視。
由於我比較懶，我們來根據前幾步分析下 B 樹的新增流程：
- 首先明確：4 階 B 樹表示每個節點最多有 4 個子樹、3 個關鍵字，最少有 2 個子樹、一個關鍵字
- 新增 6，第一個節點，沒什麼好說的
- 新增 10，根節點最多能放三個關鍵字，按順序添到根節點中
- 新增 4，還能放到根節點中
- 新增 14，這時超出了關鍵字最大限制，需要把 14 新增為子樹，同時為了保證“所有葉子節點在同一層”，就需要拆幾個關鍵字作為子樹：
這個拆的過程比較複雜，首先要確定根節點保留幾個關鍵字，由於“非葉子節點的根節點至少有 2 棵子樹”的限制，那就至少需要兩個關鍵字分出去，又因為“子樹數是關鍵字數+1”，如果根節點有兩個關鍵字，就得有三個子樹，無法滿足，所以只好把除 6 以外的三個關鍵字都拆為子樹。
誰和誰在一個子樹上呢，根據“左子樹比關鍵字小、右子樹比關鍵字大”的規律，4 在左子樹，10 和 14 在右子樹。
繼續新增 ：
- 新增 5，放到 4 所在的子樹上
- 新增 11，放在 10 和 14 所在的右子樹上
- 新增 15，按大小應該放到 10、11 和 14 所在的子樹上，但因為超過了關鍵字數限制，又得拆分
因為“根節點必須都在同一層”，因此我們不能給現有的左右子樹新增子樹，只能新增給 6 了；但是如果 6 有三個子樹，就必須得有 2 個關鍵字，提升誰做關鍵字好呢，這得看誰做 6 中間的子樹，因為右子樹的所有關鍵字都得比父節點的關鍵字大，所以這個提升的關鍵字只能比未來右子樹中的關鍵字都小，那就只有 10 和 11 可以考慮了。
提升 10 吧，沒有比它小的做子樹，那就只能提升 11 了：
再新增元素也是類似的邏輯：
- 首先考慮要插入的子樹是否已經超出了關鍵字數的限制
- 超出的話，如果要插入的位置是葉子節點，就只能拆一個關鍵字新增到要插入位置的父節點
- 如果非葉子節點，就得從其他子樹拆子樹給新插入的元素做孩子
刪除也是一樣的，要考慮刪除孩子後，父節點是否還滿足子樹 k 介於 M/2 和 M 的條件，不滿足就得從別的節點拆子樹甚至修改相關子樹結構來保持平衡。
總之新增、刪除的過程很複雜，要考慮的條件很多，具體實現就不細追究了，這裡我們有個基本認識即可。
正是這個複雜的保持平衡操作，使得平衡後的 B 樹能夠發揮出磁碟中快速查詢的作用。
使用場景
檔案系統和資料庫系統中常用的B/B+ 樹，他通過對每個節點儲存個數的擴充套件，使得對連續的資料能夠進行較快的定位和訪問，能夠有效減少查詢時間，提高儲存的空間區域性性從而減少IO操作。他廣泛用於檔案系統及資料庫中，如：
Windows：HPFS 檔案系統
Mac：HFS，HFS+ 檔案系統
Linux：ResiserFS，XFS，Ext3FS，JFS 檔案系統
資料庫：ORACLE，MYSQL，SQLSERVER 等中
資料庫：ORACLE，MYSQL，SQLSERVER 等中
B+ 樹
這部分主要學習自“程式設計師小灰”的 漫畫：什麼是B+樹？
瞭解了 B 樹後再來了解下它的變形版：B+ 樹，它比 B 樹的查詢效能更高。
一棵 B+ 樹需要滿足以下條件：
- 節點的子樹數和關鍵字數相同（B 樹是關鍵字數比子樹數少一）
- 節點的關鍵字表示的是子樹中的最大數，在子樹中同樣含有這個資料
- 葉子節點包含了全部資料，同時符合左小右大的順序
簡單概括下 B+ 樹的三個特點：
- 關鍵字數和子樹相同
- 非葉子節點僅用作索引，它的關鍵字和子節點有重複元素
- 葉子節點用指標連在一起
首先第一點不用特別介紹了，在 B 樹中，節點的關鍵字用於在查詢時確定查詢區間，因此關鍵字數比子樹數少一；而在 B+ 樹中，節點的關鍵字代表子樹的最大值，因此關鍵字數等於子樹數。
第二點，除葉子節點外的所有節點的關鍵字，都在它的下一級子樹中同樣存在，最後所有資料都儲存在葉子節點中。
根節點的最大關鍵字其實就表示整個 B+ 樹的最大元素。
第三點，葉子節點包含了全部的資料，並且按順序排列，B+ 樹使用一個連結串列將它們排列起來，這樣在查詢時效率更快。
由於 B+ 樹的中間節點不含有實際資料，只有子樹的最大資料和子樹指標，因此磁碟頁中可以容納更多節點元素，也就是說同樣資料情況下，B+ 樹會 B 樹更加“矮胖”，因此查詢效率更快。
B+ 樹的查詢必會查到葉子節點，更加穩定。
有時候需要查詢某個範圍內的資料，由於 B+ 樹的葉子節點是一個有序連結串列，只需在葉子節點上遍歷即可，不用像 B 樹那樣挨個中序遍歷比較大小。
B+ 樹的三個優點：
- 層級更低，IO 次數更少
- 每次都需要查詢到葉子節點，查詢效能穩定
- 葉子節點形成有序連結串列，範圍查詢方便
新增過程就不深入研究了，後面用到再看吧，這裡先貼一個 B+ 樹動態新增元素圖：
