介紹

紅黑樹是一個平衡的二叉樹，但不是一個完美的平衡二叉樹。雖然我們希望一個所有查詢都能在~lgN次比較內結束，但是這樣在動態插入中保持樹的完美平衡代價太高，所以，我們稍微放鬆逛一下限制，希望找到一個能在對數時間內完成查詢的資料結構。這個時候，紅黑樹站了出來。
閱讀以下需要了解普通二叉樹的插入以及刪除操作。
紅黑樹是在普通二叉樹上，對沒個節點新增一個顏色屬性形成的，同時整個紅黑二叉樹需要同時滿足一下五條性質
紅黑樹需要滿足的五條性質：
性質一：節點是紅色或者是黑色；
在樹裡面的節點不是紅色的就是黑色的，沒有其他顏色，要不怎麼叫紅黑樹呢，是吧。
性質二：根節點是黑色；

**性質五：從任一節點到其沒個葉節點的所有路徑都包含相同數目的黑色節點；**
還是看圖：

從根節點到每一個NIL節點的路徑中，都包含了相同數量的黑色節點。
這五條性質約束了紅黑樹，可以通過數學證明來證明，滿足這五條性質的二叉樹可以將查詢刪除維持在對數時間內。
當我們進行插入或者刪除操作時所作的一切操作都是為了調整樹使之符合這五條性質。
下面我們先介紹兩個基本操作，旋轉。
旋轉的目的是將節點多的一支出讓節點給另一個節點少的一支，旋轉操作在插入和刪除操作中經常會用到，所以要熟記。

下面是左旋和右旋：
左旋：

右旋：

下面講講插入

我們先明確一下各節點的叫法

因為要滿足紅黑樹的這五條性質，如果我們插入的是黑色節點，那就違反了性質五，需要進行大規模調整，如果我們插入的是紅色節點，那就只有在要插入節點的父節點也是紅色的時候違反性質四或者是當插入的節點是根節點時，違反性質二，所以，我們把要插入的節點的顏色變成紅色。

下面是可能遇到的插入的幾種狀況：
1、當插入的節點是根節點時，直接塗黑即可；
2、當要插入的節點的父節點是黑色的時候。

這個時候插入一個紅色的節點並沒有對這五個性質產生破壞。所以直接插入不用在進行調整操作。

3、如果要插入的節點的父節點是紅色且父節點是祖父節點的左支的時候。
這個要分兩種情況，一種是叔叔節點為黑的情況，一種是叔叔節點為紅的情況。
當叔叔為黑時，也分為兩種情況，一種是要插入的節點是父節點的左支，另一種是要插入的節點是父親的右支。
我們先看一下當要插入的節點是父節點的左支的情況：

這個時候違反了性質四，我們就需要進行調整操作，使之符合性質四，我們可以通過對祖父節點進行右旋同時將祖父節點和父節點的顏色進行互換，這樣就變成了：

經過這樣的調整可以符合性質四並且不對其他性質產生破壞。
當插入的節點是父節點的右支的時候：

當要插入的節點是父節點的右支的時候，我們可以先對父節點進行左旋，變成如下：

如果我們把原先的父節點看做是新的要插入的節點，把原先要插入的節點看做是新的父節點，那就變成了當要插入的節點在父節點的左支的情況，對，是的，就是按照當要插入的節點在父節點的左支的情況進行旋轉，旋轉完之後變成如下：

4、如果要插入的節點的父節點是紅色且父節點是祖父節點的右支的時候；
這個時候的情況跟情況3所表述的情況是一個映象，將情況3的左和右互換一下就可以了。
5、如果要插入的節點的父節點是紅色並且叔叔節點也為紅色，如下：

這個時候，只需將父親節點和叔叔節點塗黑，將祖父節點塗紅。

以上就是插入的全部過程。
下面我們再講講刪除的操作：

首先你要了解普通二叉樹的刪除操作：
1.如果刪除的是葉節點，可以直接刪除；
2.如果被刪除的元素有一個子節點，可以將子節點直接移到被刪除元素的位置；
3.如果有兩個子節點，這時候就可以把被刪除元素的右支的最小節點（被刪除元素右支的最左邊的節點）和被刪除元素互換，我們把被刪除元素右支的最左邊的節點稱之為後繼節點（後繼元素），然後在根據情況1或者情況2進行操作。如圖：

將被刪除元素與其右支的最小元素互換，變成如下圖所示：

然後再將被刪除元素刪除：

我們下面所稱的被刪除元素，皆是指已經互換之後的被刪除元素。
加入顏色之後，被刪除元素和後繼元素互換隻是值得互換，並不互換顏色，這個要注意。

下面開始講一下紅黑樹刪除的規則：
1.當被刪除元素為紅時，對五條性質沒有什麼影響，直接刪除。
2.當被刪除元素為黑且為根節點時，直接刪除。
3.當被刪除元素為黑，且有一個右子節點為紅時，將右子節點塗黑放到被刪除元素的位置，如圖：
由

變成

4.當被刪除元素為黑，且兄弟節點為黑，兄弟節點兩個孩子也為黑，父節點為紅，此時，交換兄弟節點與父節點的顏色；NIL元素是指每個葉節點都有兩個空的，顏色為黑的NIL元素，需要他的時候就可以把它看成兩個黑元素，不需要的時候可以忽視他。
如圖：
由

變成：

5.當被刪除元素為黑、並且為父節點的左支，且兄弟顏色為黑，兄弟的右支為紅色，這個時候需要交換兄弟與父親的顏色，並把父親塗黑、兄弟的右支塗黑，並以父節點為中心左轉。如圖：
由：

變成：

6.當被刪除元素為黑、並且為父節點的左支，且兄弟顏色為黑，兄弟的左支為紅色，這個時候需要先把兄弟與兄弟的左子節點顏色互換，進行右轉，然後就變成了規則5一樣了，在按照規則5進行旋轉。如圖：
由

先兄弟與兄弟的左子節點顏色互換，進行右轉，變成：

然後在按照規則5進行旋轉，變成：

7.當被刪除元素為黑且為父元素的右支時，跟情況5.情況6 互為映象。
8.被刪除元素為黑且兄弟節點為黑，兄弟節點的孩子為黑，父親為黑，這個時候需要將兄弟節點變為紅，再把父親看做那個被刪除的元素（只是看做，實際上不刪除），看看父親符和哪一條刪除規則，進行處理變化如圖：
由：

變成：

8.當被刪除的元素為黑，且為父元素的左支，兄弟節點為紅色的時候，需要交換兄弟節點與父親結點的顏色，以父親結點進行左旋，就變成了情況4，在按照情況四進行操作即可，變化如下：
由：

交換兄弟節點與父親結點的顏色，以父親結點進行左旋 變成：

在按照情況四進行操作，變成：

好了，刪除的步驟也講完，沒有講到的一點就是，在新增刪除的時候，時刻要記得更改根元素的顏色為黑。
這裡並沒有語言實現，只是講了一下紅黑樹的插入刪除步驟，你可以根據步驟自己把紅黑樹實現。

點選這裡，照著規則一步一步的構建一個紅黑樹吧。

最後：
1.紅黑樹的實現其實是一個2、3、4樹，只是將雙節點或者三節點用紅色進行了標示，如果你將紅色節點放到和它父元素相同的高度，並把它和父元素看做是一個元素，你就會發現，變成了一個高度為lgN的二叉樹，這個2.3.4樹對紅黑樹很有啟發意義。
2.上面的步驟其實可以不用死記硬背，是可以推匯出來的，因為我們是把一個平衡但通過插入或者刪除破壞了平衡的紅黑樹再次平衡，同過旋轉讓位，改變紅黑顏色，使之符合那五條基本性質。比如遇到刪除操作情況四的時候，我們可以把那個刪除元素去除，發現左邊比右邊少一個黑元素，這個時候，怎麼辦，我們發現兄弟節點的子元素有一個紅元素，操作這個不會影響那五條性質，所以我們通過變換顏色，旋轉，即可讓左右兩邊的的黑色數目一樣。
3.旋轉操作的目的是出讓一個元素到另外的地方並且符合二叉樹左小右大的性質，交換顏色的目的是為了保持紅黑樹的那五條性質。
4.要時刻記得 ，一切的操作都是為了保持那五條性質。

最後的最後，其實還有一種更為簡單的紅黑二叉樹，這個簡單的紅黑二叉樹實際上是一個2.3樹，他只允許左節點為紅節點，但是效能上肯定是不如這個紅黑樹。這個簡單的紅黑二叉樹在《演算法》第四版有介紹，掌握完之後再看這個簡單的紅黑二叉樹，就會覺著簡單 easy。
最後的最後的最後，一定要嘗試著自己推導一下插入刪除規則啊，不然經常忘，是睡一覺起來再看就有點懵逼的那種忘。