0x01 證明$O(f)+O(g) = O(f+g)$

令$F(n)=O(f)$，則存在自然數$n_1$、正數$c_1$，使得任意自然數$n\geq n_1$，有：

• $F(n)\leq c_1f(n)$

同理，令$G(n)=O(g)$，存在自然數$n_2$，正數$c_2$，使得對任意自然數$n\geq n_2$，有：

• $G(n)\leq c_2g(n)$

令$c_3=max(c_1,c_2)$，$n_3=max(n_1,n_2)$，則對所有的$n\geq n_3$，有：

• $F(n)\leq c_1f(n)\leq c_3f(n)$
• $G(n)\leq c_2g(n) \leq c_3g(n)$

故：

• $O\left(f\right)+O\left(g\right)=F\left(n\right)+G\left(n\right)\le c_{3}f\left(n\right)+$
  c3g(n)=c3(f(n)+g(n))O(f)+O(g)=F(n)+G(n)\leq c_3f(n)+c_3g(n)=c_3(f(n)+g(n))

即得證。

0x02 證明$\theta(f)+\theta(g) = \theta(f+g)$

令$F(n)=\theta (f)$，則存在自然數$n_1$和正數$c_1$、$c_2$，使得任意自然數$n\geq n_1$，有：

• $c_1f(n)\leq F(n)\leq c_2f(n)$

同理，令$G(n)=\theta (g)$，存在自然數$n_2$和正數$c_3$、$c_4$，使得對任意自然數$n\geq n_2$，有：

• $c_3g(n)\leq G(n)\leq c_4g(n)$

得：

• $c_1 f(n)+c_3 g(n) \leq F(n) + G(n) \leq c_2 f(n) + c_4 g(n)$

存在$c_1=c_3$、$c_2=c_4$，使得：

• $c_1 (f(n)+g(n)) \leq F(n) + G(n) \leq c_2 (f(n) + g(n))$

即得證。

0x03 證明$max(\theta (f),\theta (g))=\theta (f+g)$

網上看到的一些類似證明，我覺得都不是很合理，可能本人智商欠費的原因QAQ

令$F(n)=\theta (f)$，則存在自然數$n_1$和正數$c_1$、$c_2$，使得任意自然數$n\geq n_1$，有：

• $c_1f(n)\leq F(n)\leq c_2f(n)$

同理，令$G(n)=\theta (g)$，存在自然數$n_2$和正數$c_3$、$c_4$，使得對任意自然數$n\geq n_2$，有：

• $c_3g(n)\leq G(n)\leq c_4g(n)$

得：

• $c_1 f(n)+c_3 g(n) \leq F(n) + G(n) \leq c_2 f(n) + c_4 g(n)$

存在$c_1=c_3$、$c_2=c_4$，使得：

• $c_1 (f(n)+g(n)) \leq F(n) + G(n) \leq c_2 (f(n) + g(n))$