二分圖匹配，江湖稱二分匹配，圖論相關演算法。

現在給出兩個集合，我們拿約會來舉例子。一方是男生集合，一方是女生集合，女生都比較內斂，對不認識的男孩紙並不喜歡一起約會，所以這裡邊就要有人際關係的問題了。

這裡給男生編號n1,n2.....nn;女生編號v1v2....vn；

下面給出女生認識的男生的列表：
v1 :n1 ,n2. 

v2 :n2, n3.

v3 : n1.

這裡顯而易見，1號男生2號男生是比較受歡迎的哈~。不用演算法思想的去想這個問題我們可以這樣思考：三號女生只認識1號男生，匹配上。（1組搞定）這個時候一號女生就不能選擇1號男生了，她只能去選2號男生，這時候2號女生也就有了自己能選擇的男生，這裡我們就匹配成功了：

v1 n2 

v2 n3 

v3 n1

這裡我們就完成了匹配的過程，這個時候我們因為所有人都有了約會物件，我們這個時候稱之為最大匹配，同時也是完美匹配。

最大匹配：一個圖所有匹配中，所含匹配邊數最多的匹配，稱為這個圖的最大匹配。

完美匹配：如果一個圖的某個匹配中，所有的頂點都是匹配點，那麼它就是一個完美匹配。剛剛給出的例子就是完美匹配。

那麼我們要如何實現演算法呢？因為程式碼是不能直接看出來如何匹配能得到最大匹配的，所以我們這裡就要有一個順序去尋找最大匹配，這裡我們以編號大小的順序來尋找約會物件。

從v1開始找，先找到了n1.約上，然後是v2,找到了n2,約上。v3找到了n1,但是這裡n1和v1已經約好了，怎麼辦呢？v1對v3說：我還認識n2,我去問問他有沒有約會人選，要是沒有的話，n1讓給你。（其實我想說她是傻逼。。。。）然後v1去找n2,但是n2和v2約上了，這個時候呢v2對v1說：我還認識n3,我去看看他有沒有約會的人選，要是沒有的話n2，讓給你（這兩個傻逼。。。。）然後v2找到了n3,n3樂的屁顛屁顛的，說正好沒人約我，然後他倆約上了，v2找到了n3,那麼v1就能和v2約上了，然後v3也就能和n1約上了，我們這個時候就從剛剛的兩組匹配，轉到了3組匹配。

剛剛所述的過程，其實就是在找增廣路。（這裡增廣路的含義自己就可以理解了吧~）那麼我們如何用程式碼實現這個過程呢？其實並不難，我們這裡需要三個陣列，一個是圖，一個是詢問vis標記，一個是match匹配。

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1. int map[n][n];//關係圖。//這裡我們用1表示有關係0表示沒有關係
2. int vis[n];//表示是否詢問過這個人 用1表示詢問過 0表示沒有詢問過
3. int match[n];//陣列內資料表示匹配關係：比如match[1]=2表示男1和女2約上了（不一定最後也是在一起的）

然後就是尋找的過程： [cpp] view plain copy  print?

1. int  find(int x)//這裡x表示是任何一個女生
2. {  
3.     for(int i=0;i<n;i++)//這裡的i表示男生
4.     {  
5.         if(vis[i]==0&&map[x][i]==1)//如果這個男生沒有詢問過（你總不能一直問一個人吧....本來就夠逗逼了，你還要纏著人家。。。）並且你和這個男生認識（要找到自己認識的男生啊~）
6.         {  
7.             vis[i]=1;//標記詢問過了
8.             if(match[i]==-1||find(match[i]))//如果當前女孩紙是來直接找約會物件的，或者是要拋棄當前男孩去找下一個男孩的（而且找到了）。
9.             {  
10.                 match[i]=x;//當前男生和女生約上了（i男x女）
11.                 return 1;//返回找到了~~~
12.             }  
13.         }  
14.     }  
15.     return 0;  
16. }  

然後整個演算法就完美實現了。這裡對應杭電例題，希望讀者可以獨立完成：

杭電2063

過山車

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 15776    Accepted Submission(s): 6918


Problem Description RPG girls今天和大家一起去遊樂場玩，終於可以坐上夢寐以求的過山車了。可是，過山車的每一排只有兩個座位，而且還有條不成文的規矩，就是每個女生必須找個個男生做partner和她同坐。但是，每個女孩都有各自的想法，舉個例子把，Rabbit只願意和XHD或PQK做partner，Grass只願意和linle或LL做partner，PrincessSnow願意和水域浪子或偽酷兒做partner。考慮到經費問題，boss劉決定只讓找到partner的人去坐過山車，其他的人，嘿嘿，就站在下面看著吧。聰明的Acmer，你可以幫忙算算最多有多少對組合可以坐上過山車嗎？
Input 輸入資料的第一行是三個整數K , M , N，分別表示可能的組合數目，女生的人數，男生的人數。0<K<=1000
1<=N 和M<=500.接下來的K行，每行有兩個數，分別表示女生Ai願意和男生Bj做partner。最後一個0結束輸入。
Output 對於每組資料，輸出一個整數，表示可以坐上過山車的最多組合數。
Sample Input 6 3 3 1 1 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 0
Sample Output 3 這裡貼上我的AC完整程式碼。供新接觸這個演算法的小夥伴們參考：（提醒，千萬把男生女生分清楚了，弄混了就容易WA咯~） [cpp] view plain copy  print?

1. #include<stdio.h>
2. #include<string.h>
3. usingnamespace std;  
4. constint maxn = 505;  
5. int map[maxn][maxn];              //記錄是否可以匹配，0表示不能，1表示能
6. int vis[maxn];                  //用在不同隊伍匹配是的標記作用
7. int pri[maxn];  
8. int k,m,n;  
9. int  find(int x)  
10. {  
11.     for(int i=1;i<=m;i++)  
12.     {  
13.         if(vis[i]==0&&map[i][x])  
14.         {  
15.             vis[i]=1;  
16.             if(pri[i]==-1||find(pri[i]))  
17.             {  
18.                 pri[i]=x;  
19.                 return 1;  
20.             }  
21.         }  
22.     }  
23.     return 0;  
24. }  
25. int main()  
26. {  
27.     while(~scanf("%d",&k))  
28.     {  
29.         if(k==0)break;  
30.         scanf ("%d%d", &m, &n);  
31.         memset (map, 0, sizeof (map));  
32.         memset (pri, -1, sizeof (pri));  
33.         for(int i=0;i<k;i++)  
34.         {  
35.             int a,b;  
36.             scanf("%d%d",&a,&b);  
37.             map[a][b]=1;  
38.         }  
39.         int output=0;  
40.         for(int i=1;i<=n;i++)  
41.         {  
42.             memset(vis,0,sizeof(vis));  
43.             if(find(i))  
44.             output++;  
45.         }  
46.         printf("%d\n",output);  
47.     }  
48. }