字串匹配——樸素演算法、KMP演算法
字串匹配(string match)是在實際工程中經常會碰到的問題,通常其輸入是原字串(String)和子串(又稱模式,Pattern)組成,輸出為子串在原字串中的首次出現的位置。通常精確的字串搜尋演算法包括樸素搜尋演算法,KMP, BM(Boyer Moore), sunday, robin-karp 以及 bitap。下面分析樸素搜尋演算法和KMP這兩種方法並給出其實現。假設原字元T串長度N,子串P長度為M。
1.NAIVE—STRING—MATCHING.
樸素演算法,該方法又稱暴力搜尋,也是最容易想到的方法。
預處理時間 O(0)
匹配時間複雜度O(N*M)
主要過程:從原字串開始搜尋,若出現不能匹配,則從原搜尋位置+1繼續。
程式碼如下:
-
void NAIVE_STRING_MATCHING(string T,string P)
-
{
-
int n=T.size();
-
int m=P.size();
-
int i;
-
for (int s=0;s<n-m;s++)
-
{
-
for (i=0;i<m;i++)
-
{
-
if (P[i]!=T[s+i])
-
{
-
break;
-
}
-
}
-
if (i==m)
-
{
-
cout<<"pattern occurs with shift "<<s<<endl;
-
}
-
}
-
}
2.Knuth—Morris—Pratt演算法
簡稱KMP演算法,舉例來說,有一個字串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”,我想知道,裡面是否包含另一個字串”ABCDABD”?
許多演算法可以完成這個任務,Knuth-Morris-Pratt演算法(簡稱KMP)是最常用的之一。它以三個發明者命名,起頭的那個K就是著名科學家Donald Knuth。
這種演算法不太容易理解,網上有很多解釋,但讀起來都很費勁。直到讀到Jake Boxer的文章,我才真正理解這種演算法。下面,我用自己的語言,試圖寫一篇比較好懂的KMP演算法解釋。
1.
首先,字串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”的第一個字元與搜尋詞”ABCDABD”的第一個字元,進行比較。因為B與A不匹配,所以搜尋詞後移一位。
2.
因為B與A不匹配,搜尋詞再往後移。
3.
就這樣,直到字串有一個字元,與搜尋詞的第一個字元相同為止。
4.
接著比較字串和搜尋詞的下一個字元,還是相同。
5.
直到字串有一個字元,與搜尋詞對應的字元不相同為止。
6.
這時,最自然的反應是,將搜尋詞整個後移一位,再從頭逐個比較。這樣做雖然可行,但是效率很差,因為你要把”搜尋位置”移到已經比較過的位置,重比一遍。
7.
一個基本事實是,當空格與D不匹配時,你其實知道前面六個字元是”ABCDAB”。KMP演算法的想法是,設法利用這個已知資訊,不要把”搜尋位置”移回已經比較過的位置,繼續把它向後移,這樣就提高了效率。
8.
怎麼做到這一點呢?可以針對搜尋詞,算出一張《部分匹配表》(Partial Match Table)。這張表是如何產生的,後面再介紹,這裡只要會用就可以了。
9.
已知空格與D不匹配時,前面六個字元”ABCDAB”是匹配的。查表可知,最後一個匹配字元B對應的”部分匹配值”為2,因此按照下面的公式算出向後移動的位數:
移動位數 = 已匹配的字元數 – 對應的部分匹配值
因為 6 – 2 等於4,所以將搜尋詞向後移動4位。
10.
因為空格與C不匹配,搜尋詞還要繼續往後移。這時,已匹配的字元數為2(”AB”),對應的”部分匹配值”為0。所以,移動位數 = 2 – 0,結果為 2,於是將搜尋詞向後移2位。
11.
因為空格與A不匹配,繼續後移一位。
12.
逐位比較,直到發現C與D不匹配。於是,移動位數 = 6 – 2,繼續將搜尋詞向後移動4位。
13.
逐位比較,直到搜尋詞的最後一位,發現完全匹配,於是搜尋完成。如果還要繼續搜尋(即找出全部匹配),移動位數 = 7 – 0,再將搜尋詞向後移動7位,這裡就不再重複了。
14.
下面介紹《部分匹配表》是如何產生的。
首先,要了解兩個概念:”字首”和”字尾”。 “字首”指除了最後一個字元以外,一個字串的全部頭部組合;”字尾”指除了第一個字元以外,一個字串的全部尾部組合。
15.
“部分匹配值”就是”字首”和”字尾”的最長的共有元素的長度。以”ABCDABD”為例,
- ”A”的字首和字尾都為空集,共有元素的長度為0;
- ”AB”的字首為[A],字尾為[B],共有元素的長度為0;
- ”ABC”的字首為[A, AB],字尾為[BC, C],共有元素的長度0;
- ”ABCD”的字首為[A, AB, ABC],字尾為[BCD, CD, D],共有元素的長度為0;
- ”ABCDA”的字首為[A, AB, ABC, ABCD],字尾為[BCDA, CDA, DA, A],共有元素為”A”,長度為1;
- ”ABCDAB”的字首為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA],字尾為[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B],共有元素為”AB”,長度為2;
- ”ABCDABD”的字首為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB],字尾為[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D],共有元素的長度為0。
16.
“部分匹配”的實質是,有時候,字串頭部和尾部會有重複。比如,”ABCDAB”之中有兩個”AB”,那麼它的”部分匹配值”就是2(”AB”的長度)。搜尋詞移動的時候,第一個”AB”向後移動4位(字串長度-部分匹配值),就可以來到第二個”AB”的位置。
KMP演算法主要分為兩個部分:
一、求子串P部分匹配值陣列;
上面已經分析過,具體程式碼如下,其中pi指的是部分匹配陣列;
-
void COMPUTE_PREIFX_FUNCTION(string P,vector<int>& pi)
-
{
-
int m=P.size();
-
pi[0]=0;
-
pi[1]=0;
-
int k=0;
-
for (int q=2;q<m;q++)
-
{
-
while (k>0&&P[k+1]!=P[q])
-
{
-
k=pi[k];
-
}
-
if (P[k+1]==P[q])
-
{
-
k=k+1;
-
}
-
pi[q]=k;
-
}
-
}
二、求字元匹配位置;
按上面分析給出如下程式碼,為了方便,我們給T,P前面分別增加一個字元“%”和“*”,這樣字串中的第i個字元在程式碼中的下標也為i,這樣可以防止陣列溢位,易於理解。
-
void KMP_MATCHER(string &T,string &P)
-
{
-
T="%"+T;
-
P="*"+P;
-
int m=P.size();
-
vector<int> pi(m);
-
int n=T.size();
-
COMPUTE_PREIFX_FUNCTION(P,pi);
-
int q=0;
-
int i;
-
for (i=1;i<n;i++)
-
{
-
while (q>0&&P[q+1]!=T[i])
-
{
-
q=pi[q];
-
}
-
if (P[q+1]==T[i])
-
{
-
q=q+1;
-
}
-
if (q==m-1)
-
{
-
cout<<"pattern occurs with shift "<<i-q<<endl;
-
q=pi[q];
-
}
-
}
-
}
完整程式碼如下:
標頭檔案:
-
#include <iostream>
-
#include <string>
-
#include <vector>
-
using namespace std;
-
void COMPUTE_PREIFX_FUNCTION(string P,vector<int>& pi);
-
void KMP_MATCHER(string &T,string &P);
-
void NAIVE_STRING_MATCHING(string T,string P);
main函式:
-
#include"head.h"
-
void main()
-
{
-
string T="BBC ABCDAB ABCDABCDABDEFABCDABDff";
-
string P="ABCDABD";
-
cout<<"NAIVE:"<<endl;
-
NAIVE_STRING_MATCHING(T,P);
-
cout<<"KMP:"<<endl;
-
KMP_MATCHER(T,P);
-
}
-
void COMPUTE_PREIFX_FUNCTION(string P,vector<int>& pi)
-
{
-
int m=P.size();
-
pi[0]=0;
-
pi[1]=0;
-
int k=0;
-
for (int q=2;q<m;q++)
-
{
-
while (k>0&&P[k+1]!=P[q])
-
{
-
k=pi[k];
-
}
-
if (P[k+1]==P[q])
-
{
-
k=k+1;
-
}
-
pi[q]=k;
-
}
-
}
-
void KMP_MATCHER(string &T,string &P)
-
{
-
T="%"+T;
-
P="*"+P;
-
int m=P.size();
-
vector<int> pi(m);
-
int n=T.size();
-
COMPUTE_PREIFX_FUNCTION(P,pi);
-
int q=0;
-
int i;
-
for (i=1;i<n;i++)
-
{
-
while (q>0&&P[q+1]!=T[i])
-
{
-
q=pi[q];
-
}
-
if (P[q+1]==T[i])
-
{
-
q=q+1;
-
}
-
if (q==m-1)
-
{
-
cout<<"pattern occurs with shift "<<i-q<<endl;
-
q=pi[q];
-
}
-
}
-
}
-
void NAIVE_STRING_MATCHING(string T,string P)
-
{
-
int n=T.size();
-
int m=P.size();
-
int i;
-
for (int s=0;s<n-m;s++)
-
{
-
for (i=0;i<m;i++)
-
{
-
if (P[i]!=T[s+i])
-
{
-
break;
-
}
-
}
-
if (i==m)
-
{
-
cout<<"pattern occurs with shift "<<s<<endl;
-
}
-
}
-
}
執行結果如下:
ABCDABD繼BBC ABCDAB ABCDABCDABDEFABCDABDff第15個元素出現了一次,繼第24個元素之後出現了一次。
本文程式碼參照演算法導論第32章虛擬碼編寫;
部分內容參考:http://blog.jobbole.com/39066/