第六章  樣本及抽樣分佈

內容提要

一、總體

在數理統計中，研究物件的全體稱為總體，組成總體的每個元素稱為個體。總體常用一個隨機變數X表示。若X的分佈函式為F(x),稱F(x)為總體X的分佈函式。

二、樣本

設X是具有分佈函式F(x)的隨機變數，若是具有同一分佈函式F(x)的相互獨立的隨機變數，則稱為來自總體X的一個樣本，樣本容量為n。為的一組觀測值，的聯合分佈函式為

F()=F()F()…..F()=

三、統計量

設是來自總體X的一個樣本，g()是的函式，若是連續函式且g不含任何未知引數，則稱g()是一個統計量。為的一組觀測值，則稱g ()是g()觀測值。

四、常用統計量

1、樣本均值             

2、樣本方差            ==

樣本標準差              S=

3、  樣本k階（原點）矩       =  k=1,2….

4、樣本k階中心矩              k=2,3….

五、常用統計量的分佈

1、 的分佈：設是來自總體N()的一個樣本，則 

N()  ；      

2.分佈：  設x₁,x₂,…,x_n是來自總體N(0,1)的樣本，則統計量

=X₁²+X₂²+…+X_n²=

服從自由度為n的分佈，記～.

1)     若x～,y～,x,y相互獨立，則 x+y～

2)      若x～,則E(χ²)=n. D(χ²)=2n.

3)        設X₁,X₂

4)     設x～，的分位點滿足條件

==, (0<<1)

3.t分佈: x～N(0.1), y～,x與y相互獨立，則稱隨機變數

t=

服從自由度為n的t分佈，記 t～t(n).

1)  設x₁,x₂,…,x_n是來自正態總體N(μ,σ²)的樣本, ,s²分別為樣本均值與樣本方差，則              ～t(n-1)

2)設t～t(n)，t(n)的分位點滿足條件

p{t>}== , (0<<1)

3)設X₁,X₂,…,X_n1;Y₁,Y₂, …,Y_n2分別是正態總體N(μ₁

～t,

其中：=，

，分別為兩個正態總體的樣本均值，，分別是兩個正態總體的樣本方差。

4．F分佈:設x～,y～，且x,y相互獨立，則稱隨機變數

F=

服從自由度為（）的F分佈，記 F～F（）

1)設X₁,X₂,…,X_n1;Y₁,Y₂, …,Y_n2分別是來自正態總體N,N的獨立樣本，，分別為兩個正態總體的樣本均值，，分別是兩個正態總體的樣本方差。則

F=～F,

特別時，        F=～F.

2)設F～F（），F（）的分位點滿足條件

==,(0<<1).

基本要求

1、        理解總體，個體，樣本和統計量的概念，掌握樣本均值，樣本方差及樣本矩的計算。

2、        瞭解分佈，分佈，分佈的定義及性質，瞭解分位點的概念並會查表計算。

3、        掌握正態總體的某些常用統計量的分佈。

4、        瞭解，的分佈。

本章重點：統計量的概念及其分佈。

典型例題分析

例1．          設X₁，X₂，…Xn是來自總體X的一個樣本，在下列三種情況下，分別求出   E(), D(), E(S²)。

（1）X~B(1,p)；  （2）X~Exp(λ)；  （3）X~U（0，θ）；

分析：利用常用分佈的期望，方差，以及，S²定義和期望方差性質，即可求解。

解：（1）由於X~B（1，P）,     E(X)=P,      D(X)=P(1-P)。

所以        E（）=EX=P，

D（）=(1/n)*D（X）=P（1-P）/n,

E(S²)=P(1-P)

(2)由於X~Exp(λ)，  E（X）=λ，  D（X）=λ²

所以       E（）=λ

D（）=(1/n)*D(X)=λ²/n,  

E(S²)=λ²

（3）由於X~U（0，θ），  E（X）=θ/2，    D（X）=θ²/12

所以       E（）=θ/2，

D（）=θ²/（12n），

E（S²）=θ²/12

例2   、在總體N（7.6，4）中抽取容量為n的樣本，如果要求樣本的均值落在（5.6,9.6）內的概率不小於0.95，則n至少為多少？

分析：因為樣本均值~N（7.6,4/n）.將P（5.6<<9.6）進行求解變形，代為

P（a<(-7.6)/<b）形式，再利用標準正態分佈查表可解出n

解：因為~N（7.6,4/n）.所以

P（5.6<<9.6）=P{<(-7.6)/<}≥0.95

即                  P{-<(-7.6)/<}≥0.95，

亦即                2Φ（）-1≥0.95,Φ()≥0.975

由表Φ(1.96)=0.975,

故≥1.96或n≥3.84,即樣本量n至少為4

例3   、由正態總體N（100，4）中抽取兩個獨立樣本，樣本均值分別為, ，樣本容量分別為15，20。試求P（-|>0.2）

分析:先求出-的分佈,再利用P(|-|>0.2)代為求標準正態分佈在區間內的概率,即可求解

解:由於~N(100,4/15),~N(100,4/20)，與獨立

所以    ~，即~

於是

例4、 由正態分佈抽取容量為的樣本，試求

分析： 因為~，設法將恆等變形為，再求分佈定義及查表即可求得

解：       因為       ~，~

所以   =

                                                               =

例5．設是來自的樣本已知

求                      

分析：因為   ~，

，利用的恆等變形及分佈定義，即可求得

解：  因為        ~

 所以

例6. 設隨機變數 ~

分析:.利用間關係可證

解: 因為

       所以 

       又.

故有 

例7．設來自N（0，）的樣本。試求y=的分佈。

分析：y==為兩個正態分佈的平方和之商。若能轉化為兩個分佈之商，即可證明Y服從F分佈。

解：因，

  所以     ，。

由於         Cov(,)=D()-D()=0,

且與服從二元正態分佈，故 ，獨立。

於是，  y==.

例8．設…來自N（，）的樣本。=，為前n個樣本的樣本均值與樣本方差。試求常數c。使  服從t分佈，並指出分佈的自由度。

解析：先求出-所服從的正態分佈，再有~（n-1）

最後由t分佈定義可求解。

解: 因為            

    所以            

所以

即 時,        ；

自由度為.

例9.設是來自.求下列概率.

(1)    (2) 

分析:利用,以及標準化正態分佈,即可求解

解: =

.

例10．設在總體中抽取容量為16的樣本，這裡 已知。

1）。2）求

分析：因為這裡的已知，故可求解1）

利用及分佈方差即可求2）

解：1）因為   ，所以

=

2)因為      ~；   

即 ；   

故。

自測題

填空題

1.設隨機變數和獨立都服從正態分佈，而和分別是來自總體和的樣本，則統計量

服從分佈，自由度為。

2.是來自正態總體的樣本，

，

則當時，統計量服從分佈，自由度為

3.設總體服從正態分佈，而是來自總體的樣本，則統計量

服從分佈，自由度為。

選擇題

1．  設是來自正態總體的樣本，是樣本均值，

則服從自由度為的分佈的隨機變數是（  ）

A)             B)   

C)               D) 

2.設總體服從正態分佈，其中已知，未知，是的樣本，則下列表達式中不是統計量的是（  ）

A)         B)  min  () 

C)               D)  

解答題：

1．在天平上重複稱量一重為a的物品，假設各次稱重結果相互獨立且同服從正態分佈，若以表示n 次稱量結果的算術平均，如果要求則n至少為多少？

2．設是來自正態總體的樣本，求

。

3．設是來自正態總體的樣本，

證明：統計量服從自由度為2的t分佈。

4．  （為正態總體的樣本，樣本均值，求統計量的數學期望。（提示：令，並利用

答案：

填空：（1）t,9   (2) 1/20,  b=1/100,  n=2  (3)  F;  (10,5)

選擇：（1）B    (2) C      解答：（1）,  （2）  0.2923  

（3）先求的分佈，在標準化，證明，再用t分佈定義  

（4）

_{from: http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap6.htm}