題意：給定一個64位整數，問是否為質數，如果不是，則輸出其最小因子。
Pollard-rho分解的素數會有重複！

分析：


經典題！！


數學題


miller_rabbin素數判定。若不是，則pollard_rho分解質因子，找到最小即可。


Miller-rabin


Miller-rabin演算法是一個用來快速判斷一個正整數是否為素數的演算法。它利用了費馬小定理，即：如果p是質數，且a，p互質，那麼a^(p-1) mod p恆等於1。也就是對於所有小於p的正整數a來說都應該複合a^(p-1) mod p恆等於1。那麼根據逆否命題，對於一個p，我們只要舉出一個a（a<p）不符合這個恆等式，則可判定p不是素數。Miller-rabin演算法就是多次用不同的a來嘗試p是否為素數。


但是每次嘗試過程中還做了一個優化操作，以提高用少量的a檢測出p不是素數的概率。這個優化叫做二次探測。它是根據一個定理：如果p是一個素數，那麼對於x(0<x<p)，若x^2 mod p 等於1，則x=1或p-1。逆否命題：如果對於x(0<x<p)，若x^2 mod p 不等於1，則p不是素數。根據這個定理，我們要計算a^(p-1) mod p是否等於1時，可以這樣計算，設p-1=(2^t) * k。我們從a^k開始，不斷將其平方直到得到a^(p-1)，一旦發現某次平方後mod p等於1了，那麼說明符合了二次探測定理的逆否命題使用條件，立即檢查x是否等於1或p-1，如果不是則可直接判定p為合數。


 


pollard-rho


這是一個用來快速對整數進行質因數分解的演算法，需要與Miller-rabin共同使用。求n的質因子的基本過程是，先判斷n是否為素數，如果不是則按照一個偽隨機數生成過程來生成隨機數序列，對於每個生成的隨機數判斷與n是否互質，如果互質則嘗試下一個隨機數。如果不互質則將其公因子記作p，遞迴求解p和n/p的因子。如果n是素數則直接返回n為其素因子。


至於這個隨機數序列是如何生成的暫時還不能理解，而且也是有多種不同的方式。這個序列生成過程中會產生迴圈，遇到迴圈則立即退出。

題意：給一個大數2^63，判斷是否是素數，不是的話輸出它的最小質因子；

思路：Miller-rabin 判素數 演算法 和 pollard - rho  分解數的演算法的結合

找了一個程式碼模板，很不錯;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1000000 + 10;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof x )
typedef long long ll;
#define eps 10e-10
const ll Mod = 1000000007;
typedef pair<ll, ll> P;

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <time.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll __int64

//****************************************************************
// Miller_Rabin 演算法進行素數測試
//速度快，而且可以判斷 <2^63的數
//****************************************************************
const int S=20;//隨機演算法判定次數，S越大，判錯概率越小


//計算 (a*b)%c.   a,b都是long long的數，直接相乘可能溢位的
/*
ll Mult_mod (ll a,ll b,ll c)   //  a,b,c <2^63
{
    a%=c;
    b%=c;
    ll ret=0;
    while (b)
    {
        if (b&1) {ret+=a;ret%=c;}
        a<<=1;
        if (a>=c)a%=c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}*/

ll Mult_mod (ll a,ll b,ll c)  //減法實現比取模速度快
{    //返回(a*b) mod c,a,b,c<2^63
	a%=c;
	b%=c;
	ll ret=0;
	while (b)
	{
		if (b&1)
		{
			ret+=a;
			if (ret>=c) ret-=c;
		}
		a<<=1;
		if (a>=c) a-=c;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

//計算  x^n %c
ll Pow_mod (ll x,ll n,ll mod) //x^n%c
{
    if (n==1) return x%mod;
    x%=mod;
    ll tmp=x;
    ll ret=1;
    while (n)
    {
        if (n&1) ret=Mult_mod(ret,tmp,mod);
        tmp=Mult_mod(tmp,tmp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

//以a為基,n-1=x*2^t      a^(n-1)=1(mod n)  驗證n是不是合數
//一定是合數返回true,不一定返回false
bool Check (ll a,ll n,ll x,ll t)
{
    ll ret=Pow_mod(a,x,n);
    ll last=ret;
    for (int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=Mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true; //合數
        last=ret;
    }
    if (ret!=1) return true;
    return false;
}

// Miller_Rabin()演算法素數判定
//是素數返回true.(可能是偽素數，但概率極小)
//合數返回false;

bool Miller_Rabin (ll n)
{
    if (n<2) return false;
    if (n==2) return true;
    if ((n&1)==0) return false;//偶數
    ll x=n-1;
    ll t=0;
    while ((x&1)==0) {x>>=1;t++;}
    for (int i=0;i<S;i++)
    {
        ll a=rand()%(n-1)+1; //rand()需要stdlib.h標頭檔案
        if (Check(a,n,x,t))
            return false;//合數
    }
    return true;
}


//************************************************
//pollard_rho 演算法進行質因數分解
//************************************************

ll factor[100];//質因數分解結果（剛返回時是無序的）
int tol;//質因數的個數。陣列下標從0開始

ll Gcd (ll a,ll b)
{
    if (a==0) return 1;  //???????
    if (a<0) return Gcd(-a,b);
    while (b)
    {
        ll t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

ll Pollard_rho (ll x,ll c)
{
    ll i=1,k=2;
    ll x0=rand()%x;
    ll y=x0;
    while (true)
    {
        i++;
        x0=(Mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        ll d=Gcd(y-x0,x);
        if (d!=1 && d!=x) return d;
        if (y==x0) return x;
        if (i==k) {y=x0;k+=k;}
    }
}
//對n進行素因子分解
void Findfac (ll n)
{
    if (Miller_Rabin(n)) //素數
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    ll p=n;
    while (p>=n) p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
    Findfac(p);
    Findfac(n/p);
}

int main ()  // Poj 1811 交G++ 比c++ 快很多
{
   // srand(time(NULL));//需要time.h標頭檔案  //POJ上G++要去掉這句話
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		ll n;
		scanf("%I64d",&n);
		if (Miller_Rabin(n))
		{
			printf("Prime\n");
			continue;
		}
		tol=0;
		Findfac(n);
		ll ans=factor[0];
		for (int i=1;i<tol;i++)
			if (factor[i]<ans)
				ans=factor[i];
		printf("%I64d\n",ans);
	}
	return 0;
}