[CQOI2011] 動態逆序對
阿新 • • 發佈:2018-12-29
使用樹狀陣列求出初態下出f[i]、g[i]表示位置小(大)於i且值大(小)於a[i]的元素個數。顯然ans|初=sum f[i]=sum g[i]。
考慮第一個刪去的點x,刪去以後,ans減少f[x]+g[x];再考慮第二個刪去的點y,刪去以後,ans減少f[y]+g[y]?不,f[y]、g[y]中可能算上了x(此題裡是必然),這{x,y}這一對已經在上一次刪除時減掉了,所以ans減少f[y]+g[y]的同時,還應加上已刪除的點中與y構成的“逆序對數”。以後刪除的點同理;
假設當前正在刪除元素x,設元素到位置的對映為id[x],設f1、g1為在已刪的點中與x相比位置小(大)於i且值更大(小)於的點的個數,那麼ans應該為ans-f[x]-g[x]+f1+g1。現考慮如何快速計算f1、g1。以計算f1為例:
一:將刪除的點放在新序列b的相應位置,每次掃描b[1~id[x]]中有多少滿足b[i]>x的點。
二:不放將序列b擴充為矩陣b[i,j],b[i,j]表示位置為i,值為j的元素是否已經被刪除。每次n^2求矩陣b[1~id[x], x+1,n]的和
三:二中的b大小為n*n顯然不行。考慮將b[i]改為一顆權值線段樹(求一段值域內的元素個數),這樣大小變為nlogn。
四:每一次刪除一個點,會修改線段樹b[id[x]~n],用時過久。不放對所有權值線段樹的同一個區間求字首和(例項:主席樹)查詢變為作差;這時修改線段樹b[id[x]~n]相當於是單點修改更新字首和,考慮使用樹狀陣列來完成。
就是樹狀陣列套權值線段樹了。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e6+10; int n,m,tot; long long ans; int root[N],bit[N],id[N],a[N],f[N],g[N]; struct edge { int ls,rs,sum; } t[N*30]; void update(int&x,int l,int r,int w) { if(!x) x=++tot; t[x].sum+=(w!=0); if(l==r) return; int mid=(l+r)>>1; if(w<=mid) update(t[x].ls,l,mid,w); else update(t[x].rs,mid+1,r,w); } int L[N],cntl,R[N],cntr; int f1(int x,int y,int w) { cntl=cntr=0, x--; for(; x>0; x-=(x&-x)) L[++cntl]=root[x]; for(; y>0; y-=(y&-y)) R[++cntr]=root[y]; int l=1, r=n, ret=0; while(l!=r) { int mid=(l+r)>>1; if(w<=mid) { //右區間全滿 for(int i=1; i<=cntl; ++i) ret-=t[t[L[i]].rs].sum; for(int i=1; i<=cntr; ++i) ret+=t[t[R[i]].rs].sum; for(int i=1; i<=cntl; ++i) L[i]=t[L[i]].ls; for(int i=1; i<=cntr; ++i) R[i]=t[R[i]].ls; r=mid; } else { for(int i=1; i<=cntl; ++i) L[i]=t[L[i]].rs; for(int i=1; i<=cntr; ++i) R[i]=t[R[i]].rs; l=mid+1; } } return ret; } int g1(int x,int y,int w) { cntl=cntr=0, x--; for(; x>0; x-=(x&-x)) L[++cntl]=root[x]; for(; y>0; y-=(y&-y)) R[++cntr]=root[y]; int l=1, r=n, ret=0; while(l!=r) { int mid=(l+r)>>1; if(mid<w) { //左區間全滿 for(int i=1; i<=cntl; ++i) ret-=t[t[L[i]].ls].sum; for(int i=1; i<=cntr; ++i) ret+=t[t[R[i]].ls].sum; for(int i=1; i<=cntl; ++i) L[i]=t[L[i]].rs; for(int i=1; i<=cntr; ++i) R[i]=t[R[i]].rs; l=mid+1; } else { for(int i=1; i<=cntl; ++i) L[i]=t[L[i]].ls; for(int i=1; i<=cntr; ++i) R[i]=t[R[i]].ls; r=mid; } } return ret; } int sum(int x,int y=0) { for(; x>0; x-=(x&-x)) y+=bit[x]; return y; } void add(int x,int y) { for(; x<=n; x+=(x&-x)) bit[x]+=y; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1; i<=n; ++i) { scanf("%d",&a[i]); id[a[i]]=i; f[i]=sum(n)-sum(a[i]); add(a[i],1); ans+=f[i]; } for(int i=1; i<=n; ++i) bit[i]=0; for(int i=n; i>=1; --i) { g[i]=sum(a[i]); add(a[i],1); } update(root[0],1,n,0); for(int x; m--; ) { scanf("%d",&x); printf("%lld\n",ans); ans-=f[id[x]]-f1(1,id[x],x)+g[id[x]]-g1(id[x],n,x); for(int i=id[x]; i<=n; i+=(i&-i)) { update(root[i],1,n,x); } } return 0; }