現代複習——第5章相似矩陣及二次型
阿新 • • 發佈:2018-12-29
&1向量的內積,長度,及正交性
稱之為向量x,y的內積
內積具有一下性質
$$
1.[x,y]=[y,x]\
2.[\lambda x,y]=\lambda[x,y]\
3.[x+y,z]=[x,z]+[y+z]
$
施瓦茲不等式
範數
稱為n維向量x的長度
向量的長度有以下性質
- 非負性 當x≠0時,||x||>0時,||x||>0,當x=0時,||x||=0
- 齊次性 ||λx||=|λ| ||x||
定義:當x≠0&&≠0時,θ=arccos
定理1:諾n維向量是a1…ar是一組兩兩正交的非零向量,則a1…ar線性無關
標準正交基:設n維向量e1…er是向量空間V的一個基,如果e1…er兩兩相交,且都是單位向量,則e1…er是V的一個標準基
設a1…ar是向量空間v的一個基,要求V的一個標準基,也就是找一組兩兩相交的單位向量,e1…er使得e1…er與a1…ar等價,這個問題稱之為及a1…ar的標準正交化.
可以用下面的方法正交化
上述從無關向量組a1…ar到處正向向量組b1,b2的過程稱為施密特正交化,(對任何b1…bk,[1≤k≤r]),向量組皆等價
正角陣:ATA=E(即A-1=AT),則稱A為正交矩陣
方陣A為正交矩陣的充分必要條件是A的列向量都是單位矩陣,且兩兩正交
A為正交矩陣,A-1=AT也是正交矩陣,且|A|=-1或(-1)
A和B都是正交矩陣,則AB也是正交矩陣
定義5:諾P為正交矩陣,則線性變換y=Px稱之為正交變換
&2方陣的特徵值與特正向量
定義6:設A是n皆方陣,如果數λ魚n維非零向量x讓關係式滿足:Ax=λx,則稱數λ是矩陣A的特徵值,非零向量x稱為A對應與特徵值λ的特徵向量
也可以寫成(A-λE)x=0即矩陣A的特徵方程,記作λ,f(λ)稱之為矩陣A的特徵多項式,A是特徵多項式的解
λ2是A2的特徵值
當A可逆時,
的特徵值
A*=|A|A-1,|A|=λ1…λn
定理2設λ1…λn是方陣A的m個特徵值,p1 …pn是與之對應的特徵向量,如果λ1…λn各不相等,則p1 …pn線性無關