字尾自動機(SAM)速成手冊！
正好寫這個部落格和我的某個別的需求重合了。。。我就來講一講SAM啦qwq
字尾自動機，也就是SAM，是一種極其有用的處理字串的資料結構，可以用於處理幾乎任何有關於子串的問題，但以學起來異常困難著稱（在機房裡，最先學會SAM的永遠是大佬（比如litble和zyf（他在退役前就學了）））。
但是！！！當你學了SAM並熟練地刷了幾道題後，你會發現——你之前為了學SAM而強行理解的許多定理，對你應用SAM一點用處也沒有！為了引出構造演算法，幾乎所有部落格都會詳細地解釋“你為啥要這樣做”，然鵝。。。
SAM完全可以當成黑盒來用！！！！！！
所以我打算寫一篇SAM速成部落格。。。保證即學即會！
在構建之前你不得不知道的
Warning：想徹底理解字尾自動機嗎？那你有好訊息了！請立即關閉此頁面，在百度裡搜尋“字尾自動機 陳立傑”，開始愉快的學習吧！（講真，陳老師的ppt是講的最好的，別的部落格無能出其右者）
SAM是一個DAG（有向無環圖），每個點代表一個"狀態"，邊代表狀態轉移，邊上有一個字母。SAM有一個起始狀態（稱為起點），從起點開始，沿著邊不斷走下去，就可以得到一個字串。記當前停留節點為\(x\)，走出來的字串為\(S\)，稱節點\(x\)可代表字串\(S\)。記\(x\)可代表的串中長度最長的串的長度為\(len(x)\)。
另外，除起點外的每個節點還擁有一個“字尾連結“
儲存SAM利用的是類似於Trie樹的儲存結構，即使用\(ch[][26]\)陣列儲存狀態轉移的邊。
知道了這些，構建SAM的工作就可以開始了。
開始建造字尾自動機
準備工作：建立陣列\(ch,fa,len\)，準備指標\(last,cnt\)。SAM的構造方法是不斷地向已經建好的SAM中加入新的節點。\(last\)表示上一個被插入的節點，\(cnt\)表示SAM中的節點數量。一開始，\(last=cnt=1\)，表示只有一個起點的初始SAM。
接下來，假設要往SAM里加入一個字元\(x\)。
- 新建節點\(np=++cnt\)。新建節點\(p\)。\(p=last\)。$ last=np$。
- 如果不存在\(ch[p][x]\)，令\(ch[p][x]=np,p=fa[p]\)。重複此步驟。
- 如果到最後還沒有一個\(p\)擁有兒子\(x\)，令\(fa[np]=1\)。退出過程。
- 當\(ch[p][x]\)出現時，令\(q=ch[p][x]\)。如果\(len[q]==len[p]+1\)，令\(fa[np]=q\)。退出過程。
- 否則有點麻煩。新建節點\(nq=++cnt\)，將\(q\)的兒子都複製給\(nq\)，令\(len[nq]=len[p]+1\)。
- 令\(fa[nq]=fa[q],fa[q]=fa[np]=nq\)。
- 從\(p\)開始沿著字尾連結，將所有\(ch[p][x]==q\)的節點的\(ch[p][x]\)都替換成\(nq\)。
將你的字串的所有字元都一一進行如上操作後，你就得到了用你的字串構建出來的SAM。
你不需要知道為什麼這麼操作可以得到SAM，你只需要記下以下的程式碼，做幾道題強化記憶，然後就可以用SAM的性質來秒題了。
void insert(int x)
{
int np=++cnt,p=last;
len[np]=len[p]+1,last=np;
while(p&&!ch[p][x])ch[p][x]=np,p=fa[p];
if(!p)fa[np]=1;
else
{
int q=ch[p][x];
if(len[q]==len[p]+1)fa[np]=q;
else
{
int nq=++cnt;len[nq]=len[p]+1;
memmove(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[nq]));
fa[nq]=fa[q],fa[np]=fa[q]=nq;
while(ch[p][x]==q)ch[p][x]=nq,p=fa[p];
}
}
}字尾自動機的奇妙性質
現在，你已經擁有SAM了，你需要知道它有什麼用。這裡列舉了SAM的一些基本且常用的性質。
請牢記以下每一條內容！都十分有用！不要去問“為什麼是這樣的”！（如果一定要問，請參照上文藍色放大的Warning）
首先，SAM的點數與邊數都是\(O(n)\)的。記住，由於每次插入最多新建兩個點，所以應該開字元總量兩倍的空間。計算空間時別忘了你開了26倍的\(ch\)陣列。
在SAM上從起點開始沿著邊隨便走走，得到的一定是子串。同時，每一個子串都可以在SAM上走出一條唯一對應的路徑。也就是說，子串和SAM上從起點開始的每一條路徑一一對應。路徑數等於子串數。
起點可以看做是代表空串的點。
重點：定義子串的\(right\)集合：這個子串在原串中所有出現的位置的右端點的集合。
比如說：AAAABBAAAAABAAABBAA
子串AAB出現了3次，右端點集合為\(\{5,12,16\}\)。這就是子串AAB的\(right\)集合。
一個節點能夠代表的所有子串的\(right\)集合是一樣的。\(right\)集合相等的子串一定被同一個節點代表。（所以，我們會使用“節點的\(right\)集合”這個說法。）兩個節點的\(right\)集合之間要麼真包含，要麼沒有交集。若節點\(y\)的\(right\)集合包含了節點\(x\)的\(right\)集合，那麼\(y\)能代表的子串均為\(x\)能代表的子串的真字尾。
重點：定義節點\(x\)的字尾連結\(fa(x)\)：如果有一些節點的\(right\)集合包含了\(x\)的\(right\)集合，\(fa(x)\)是其中\(right\)集合的大小最小的那一個。
字尾連結們組成了一棵“字尾連結樹”（不是字尾樹）。字尾連結樹的根為起點。若節點\(y\)的\(right\)集合包含了節點\(x\)的\(right\)集合，那麼\(y\)在後綴連結樹上是\(x\)的祖先。
一個節點的\(right\)集合等於他在後綴連結樹上的所有兒子的\(right\)集合的並集。而且兒子的\(right\)集合之間兩兩沒有交集。
每個節點能代表的子串的長度範圍是一段連續的區間。這很好理解，因為它們的結束位置都是相同的。
我們求出每個節點能代表的最長串的長度（即\(len(x)\)）了，那最短長度呢？其實就等於字尾父親節點的\(len+1\)。也就是說，所有本質不同的子串的數量等於\(\sum len(x)-len(fa(x))\)。
總結
以上就是SAM的基本性質~對於一道特定的題，你可能需要通過上面的性質推出你需要的新性質。如果你還有什麼疑問可以向我留言，我（在退役前）會在一天之內回覆的！（你也可以去問更強的boshi和litble，別去問zyf因為他已經退役了。）
題單我就不給了，因為網上有很多很多。。。
當然，如果你立志要當大佬。。。那趕緊開啟陳立傑的ppt吧=。=
感謝您的觀看qwq！