位與進位制

阿新 • • 發佈：2018-12-30

位運算簡介

這裡我假設讀者有二進位制的思維，知道 $(3)_{10}=(011)_2$ 將十進位制轉換為二進位制的方法

&(與)、|(或)、^(異或)、~(非/取反)
&gt>和<<運算子將二進位制位進行右移或者左移操作
&gt&gt&gt運算子將用0填充高位；>>運算子用符號位填充高位，沒有<<<運算子
對於int型，1<<35與1<<3是相同的，左邊的運算元是int的時需對右側運算元模32，而左邊的運算元是long型時需對右側運算元模64

關於上面的說明，這裡還是補充一下，因為並不是所有人都瞭解位運算

<<的運算規則：按二進位制形式把所有的數字向左移動對應的位數，高位移出（捨棄），低位的空位補零。以3<<2為例，首先把3轉換為二進位制數字0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011（int型是4個位元組，1個位元組8位，所以int是32位），然後將上面的二進位制數字向左移動2位後面補0得到0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100

在數字沒有溢位的前提下，對於正數和負數，左移一位都相當於乘以2的1次方，左移n位就相當於乘以 $2^n$

>>的運算規則：按二進位制形式把所有的數字向右移動對應位數，低為移出（捨棄），高位的空位補符號位，即正數補零，負數補1.以11>>2為例，首先把11轉換為二進位制數字0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1011，然後把低位的兩個數字移出，因為該數字是正數，所以在高位補零，則得到的最終結果是0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010

右移一位相當於除以2，右移n位相當於除以 $2^n$

>>>運算規則：和&gt&gt大致相同，區別在於不論是正數還是負數，高位都補零

位運算的奇巧淫技

判斷奇偶位（x & 1 == 1?奇:偶）
獲取二進位制位是1還是0
交換兩個整數變數的值（t = a ^ b;a ^= t;b ^= t;）
不用判斷語句，求整數的絕對值(a ^ (a >> 31)) + (a >>> 31)
結合律 (a^b)^c==a^(b^c)
對於任何數x，都有x^x=0，x^0=x，同自己求異或為0，同0求異或為自己
自反性a^b^b=a^0=a,連續和同一個因子做異或，最終結果為自己

題1：找出唯一成對的數

1-1000這1000個數放在含有1001個元素的陣列中，只有唯一的一個元素重複，其它均只出現一次，每個陣列元素只能訪問一次，設計一個演算法，將它找出來，不用輔助儲存空間

題解

位運算總共就那麼幾條性質，假設一個數組中的值分別是1,2,3,4,2，2是重複的元素，那麼應該怎麼把它挑出來呢，最開始想到的方法肯定是兩重迴圈列舉，時間複雜度是O( $n^2$ )，不太好，想想怎麼用位運算解決這道題，根據a^a=0,a^0=a這兩條性質，我們可以把陣列中的元素全部異或起來，然後再異或一遍不重複的所有元素，就是(1^2^3^4^2)^(1^2^3^4)，這樣把它們湊起來，最後結果就應該是2^2^2=2^0=2，正好是要找的重複元素

程式碼

import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		int n = 1001,sum1 = 0,sum2 = 0;
		int[] arr = new int[n];
		for(int i = 0;i < n - 1;i++) {
			arr[i] = i + 1;
			sum1 ^= arr[i];
		}
		arr[n - 1] = new Random().nextInt(n);//隨機數，1-n
		sum2 = sum1 ^ arr[n - 1];
		int idx = new Random().nextInt(n);//隨機選取一個下標
		{//交換
			int t = arr[idx];
			arr[idx] = arr[n - 1];
			arr[n - 1] = t;
		}
		/*for(int i = 0;i < n;i++) {
			System.out.print(arr[i] + " ");
		}*/
		System.out.println(sum1 ^ sum2);
	}
}

題2：找出落單的數

一個數組裡除了某一個數字以外，其他的數字都出現了兩次。請寫程式找出這個只出現一次的數字

題解

這道題比上一道題還簡單，這道題直接將所有的值全部異或起來，得到的結果就是落單的數了

題3：二進位制中1的個數

請實現一個函式，輸入一個整數，輸出該二進位制表示中1的個數

題解

第一種方法：假設這個數是3，其二進位制為011，首先將011&001，判斷得出來的結果是否等於001，如果等於，說明這個第1位是1；然後將011&010，判斷得出來的結果是否等於010，如果等於，說明這個第2位是1，一直進行下去，判斷31位

程式碼

import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		int n = cin.nextInt();
		int cnt = 0;
		for(int i = 0;i < 32;i++) 
			if(((1 << i) & n) == (1 << i))
				cnt++;
		System.out.println(cnt);
	}
}

第二種方法

第二種方法：只讓要測驗的數向右移。假設這個數是3，其二進位制為011，首先將011&001，判斷得出來的結果是否等於001，如果等於，說明這個第1位是1；然後將001&001，判斷得出來的結果是否等於001，如果等於，說明這個第2位是1，一直進行下去，判斷31位

程式碼

import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		int n = cin.nextInt();
		int cnt = 0;
		for(int i = 0;i < 32;i++) 
			if(((n >>> i) & 1) == 1)
				cnt++;
		System.out.println(cnt);
	}
}

第三種方法

第三種方法：還是假設這個數是3，那我們讓3變成0的過程中肯定是要消掉1的，消掉多少次1，就表示3的二進位制中有多少個1。關鍵就在於，如何消掉011中的1，我們首先讓011減1，那麼011就變成了010，然後讓011&010，就得到了010，然後再讓010減1，那麼010就變成了001，然後讓010&001，就得到了000，轉換成虛擬碼的形式就是，a = (a - 1) & a，它的效果就是消掉最低位上的1，依次消掉所有最低位上的1，最後不久變成了0嗎

程式碼

import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		int n = cin.nextInt();
		int cnt = 0;
		while(n != 0) {
			n = (n - 1) & n;
			cnt++;
		}
		System.out.println(cnt);
	}
}

題4：是不是2的整數次方

用一條語句判斷一個整數是不是2的整數次方

題解

這道題比較好想，判斷一個數是不是2的整數次方，其實就是判斷這個數的二進位制數是不是有且僅有一個1，這個和上面那道題很相似，仔細想想，直接給出程式碼了

程式碼

if((n & (n - 1)) == 0)

題5：將整數的奇偶位互換

假設這個數是9，二進位制就是1001，那麼得到的結果就是0110

題解

首先我們需要兩個個數

a = 0x55555555
b = 0xaaaaaaaa

a和b都是16進位制數，轉換為二進位制分別是0101 0101 0101…，1010 1010 1010…（因為1010對應的十進位制是10，而10在16進制中是a，0101也同理），然後將需要改變的數n分別對a和b進行&運算得到c和d，然後將c向左移1位，將d向右移1位，再分別進行異或，就得到所求結果，看下面示例

n = 1001
a = 0101
b = 1010
c = n & a = 0001
d = n & b = 1000
res = (c << 1) ^ (d >> 1) = 0110

題6：0-1間浮點實數的二進位制表示

給定一個介於0和1之間的實數，（如0.625），型別為double，列印他的二進位制表示（0.101），如果該數字無法精確地用32位以內地二進位制表示，則列印“ERROR”

程式碼

import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		double num = cin.nextDouble();
		StringBuilder sb = new StringBuilder("0.");
		while(num > 0) {
			double r = num * 2;
			if(r >= 1) {
				num = r - 1;
				sb.append("1");
			} else {
				num = r;
				sb.append("0");
			}
		}
		if(sb.length() > 34) 
			System.out.println("ERROR");
		else
			System.out.println(sb.toString());
	}
}

題7：出現k次和出現1次的數

陣列中只有一個數出現了1次，其他的數都出現了k次，請輸出出現了1次的數

題解

這道題有很多種做法，但是這裡我們只考慮如何利用進位制的方法去做，多的也不說，大家只要記住一個結論k個相同的k進位制數做不進位加法結果為0。舉個例子，3個相同的三進位制數，假設個這個數是2，2的三進位制是011，所以三個011做不進位加法結果就是011+011+011=000；再比方說10個十進位制數相加，假設這個數是10，做不進位加法最後結果也是0

程式碼

import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		int[] arr = {3,3,3,5,7,7,7,8,8,8,6,6,6};
		int len = arr.length;
		char[][] kRadix = new char[len][];
		int k = 3;
		int maxlen = 0;
		//轉換成k進位制字元陣列
		//對於每個數字
		for(int i = 0;i < len;i++) {
			kRadix[i] = new StringBuilder(Integer.toString(arr[i],k)).reverse().toString().toCharArray();
			if(maxlen < kRadix[i].length)
				maxlen = kRadix[i].length;
		}
		int[] resArr = new int[maxlen];
		for(int i = 0;i < len;i++) {
			//不進位加法
			for(int j = 0;j < maxlen;j++) {
				if(j > kRadix[i].length) 
					resArr[j] += 0;
				else 
					resArr[j] += (kRadix[i][j] - '0');
			}
		}
		int res = 0;
		for(int i = 0;i < maxlen;i++) 
			res += (resArr[i] % k) * (int)(Math.pow(k,i));
		System.out.println(res);
	}
}