涉及卡特蘭數的題目列舉，也是組合數學中一些例子：

詳解連結 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0

1. n個節點的二叉樹有多少種形態？

　　C_n表示有2n+1個節點組成不同構滿二叉樹（full binary tree）的方案數。

　　下圖中，n等於3，圓形表示內部節點，月牙形表示外部節點。本質同上。

2. 矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×…×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，有幾種括號化的方案？

• C_n表示所有包含n組括號的合法運算式的個數：((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 

3. 一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列? 
4. 有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧) 
5. 將一個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數? 

• C_n表示通過連結頂點而將n + 2邊的
  凸多邊形分成三角形的方法個數。下圖中為n = 4的情況：

6. 在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來，使得所得到的n條線段不相交的方法數。 
7. 一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？

• C_n表示所有在n × n格點中不越過對角線的單調路徑的個數。一個單調路徑從格點左下角出發，在格點右上角結束，每一步均為向上或向右。計算這種路徑的個數等價於計算Dyck word的個數：X代表“向右”，Y代表“向上”。下圖為n
   = 4的情況：

8. C_n表示長度2n的dyck word的個數。Dyck word是一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的字首字串皆滿足X的個數大於等於Y的個數。以下為長度為6的dyck word： XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

　　證明：

　　令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的二進位制數，滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多於1數。顯然含n個1、n個0的2n位二進位制數共有個，下面考慮不滿足要求的數目。

　　考慮一個含n個1、n個0的2n位二進位制數，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則後面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以後的部分0變成1、1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的二進位制數。反之亦然（相似的思路證明兩者一一對應）。

從而。證畢。

9.

• C_n表示用n個長方形填充一個高度為n的階梯狀圖形的方法個數。下圖為n = 4的情況：

什麼是卡特蘭數？

f(n)=f(n-1)f(0)+f(n-2)f(1)+……….+f(1)f(n-2)+f(0)f(n-1) 
該數列稱為卡特蘭數（Catalan數），該遞推關係的解為： 

參考博文：

https://blog.csdn.net/adminabcd/article/details/46672759