線性代數常用基本知識整理
阿新 • • 發佈:2018-12-30
1. 行列式
1.1 二階行列式
1.2 三階行列式
1.3 排列的逆序數
1.4 n階行列式
2. 行列式的性質
性質1 行列式與它的轉置行列式相等。
性質2 互換行列式的兩行(列),行列式變號。
性質3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一個倍數K,等於用數K乘以此行列式。
性質4 行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零。
行列式中行與列具有同等的地位, 凡是對行成立的性質對列也同樣成立.
計算行列式常用方法:(1)利用定義;(2)利用性質把行列式化為上三角形行列式,從而算得行列式的值.
3. 求解方程組
3.1 克拉默法則
定理4 如果線性方程組的係數行列式不等於零,則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的 .
定理4′ 如果線性方程組無解或有兩個不同的解,則它的係數行列式必為零.
4. 矩陣
4.1 特殊矩陣
4.2 矩陣與線性變換
4.3 矩陣的運算
4.3.1 矩陣的加法
4.3.2 數與矩陣相乘
4.3.3 矩陣與矩陣相乘
4.3.4 矩陣的轉置
4.3.5 方陣的行列式
5. 範數
範數,是具有“長度”概念的函式。
5.1 向量範數
其中2-範數就是通常意義下的距離。5.2 矩陣範數
矩陣範數反映了線性對映把一個向量對映為另一個向量,向量的“長度”縮放的比例。
範數理論是矩陣分析的基礎,度量向量之間的距離、求極限等都會用到範數,範數還在機器學習、模式識別領域有著廣泛的應用。
理論上講範數的概念屬於賦範線性空間,最重要的作用是誘匯出距離,進而還可以研究收斂性.
一個集合(向量),通過一種對映關係(矩陣),得到另外一個集合(另外一個向量),則:
1) 向量的範數:就是表示這個原有集合的大小。
2) 矩陣的範數:就是表示這個變化過程的大小的一個度量。
計算機領域:用的比較多的就是迭代過程中收斂性質的判斷,一般迭代前後步驟的差值的範數表示其大小,常用的是二範數,差值越小表示越逼近實際值,可以認為達到要求的精度,收斂。