平面上求最近點對問題
設p1=(x1, y1), p2=(x2, y2), …, pn=(xn, yn)是平面上n個點構成的集合S，設計演算法找出集合S中距離最近的點對。
1、蠻力法（適用於點的數目比較小的情況下）
1）演算法描述：已知集合S中有n個點，一共可以組成n(n-1)/2對點對，蠻力法就是對這n(n-1)/2對點對逐對進行距離計算，通過迴圈求得點集中的最近點對：
2）程式碼描述：
double MinDistance = double.maxvalue； //設定一個MinDistance儲存最近點對的距離，初始值為無窮大 int PointIndex1,PointIndex2； //設定PointIndex1,PointIndex2分別儲存最近點對的兩個點編號 for (i=1; i< n; i++) //迴圈計算n(n-1)/2對點對的距離 { for (j=i+1; j<=n; j++) { double PointDistance = Distance(S[i],S[j]); //求得point i和point j之間的距離 if PointDistance < MinDistance; //如果當前點對距離小於最小點對距離，則設定最小點對距離等於當前點對距離 { MinDistance = PointDistance; PointIndex1 = i; PointIndex2 = j; } } }
3）演算法時間複雜度：演算法一共要執行 n(n-1)/2次迴圈，因此演算法複雜度為O(n2)
2、分治法
1）演算法描述：已知集合S中有n個點，分治法的思想就是將S進行拆分，分為2部分求最近點對。演算法每次選擇一條垂線L，將S拆分左右兩部分為SL和SR，L一般取點集S中所有點的中間點的x座標來劃分，這樣可以保證SL和SR中的點數目各為n/2，
（否則以其他方式劃分S，有可能導致SL和SR中點數目一個為1，一個為n-1，不利於演算法效率，要儘量保持樹的平衡性）
依次找出這兩部分中的最小點對距離：δL和δR，記SL和SR中最小點對距離δ = min（δL，δR），如圖1：
以L為中心，δ為半徑劃分一個長帶，最小點對還有可能存在於SL和SR的交界處，如下圖2左圖中的虛線帶，p點和q點分別位於SL和SR的虛線範圍內，在這個範圍內，p點和q點之間的距離才會小於δ，最小點對計算才有意義。
Figure 2
對於SL虛框範圍內的p點，在SR虛框中與p點距離小於δ的頂多只有六個點，就是圖二右圖中的2個正方形的6的頂點。這個可以反推證明，如果右邊這2個正方形內有7個點與p點距離小於δ，例如q點，則q點與下面正方形的四個頂點距離小於δ，則和δ為SL和SR中的最小點對距離相矛盾。因此對於SL虛框中的p點，不需求出p點和右邊虛線框內所有點距離，只需計算
（否則的話，最壞情形下，在SR虛框中有可能會有n/2個點，對於SL虛框中的p點，每次要比較n/2次，浪費了演算法的效率）
程式碼描述：
1）對點集S的點x座標和y座標進行升序排序，獲得點集Sx和Sy
2）令δ=∞; //δ為最小點位距離
3）Divide_conquer（Sx，Sy，δ） //分治法
if （Sx.count=1） thenδ=∞; //如果Sx中只有一個點，則δ=∞
returnδ;
else if（Sx.count=2 and d（Sx.[0],Sx.[1]）<δ）//如果Sx中只有2個點，則δ為兩點之間距離
δ=d（Sx.[0], Sx.[1]）;
return δ;
else //如果Sx中多於2個點，則將Sx,Sy分治，以中心點畫線，將Sx分為左右兩部分SxL和SxR，Sy分為SyL和SyR
j1=1,j2=1,k1=1,k2=1;
mid =Sx.count/2; //mid為Sx中的中間點點號
L =Sx.[mid].x; //L為Sx中的中間點x座標
for(i=1,i<Sx.count,i++)
{
if(i<=mid) //將Sx中間線以左地方的點存入到SxL，新陣列保持原來的升序性質
SxL[k1] =Sx[i] k1++;
else //將Sx中間線以右的地方的點存入到SxR，新陣列保持原來的升序性質
SxR.count[k2] = Sx[i] k2++;
if(Sy[i].x<L) //將Sy中間線以左地方的點存入到SyL，新陣列保持原來的升序性質
SyL[j1] = Sx[i] j1++;
else //將Sy中間線以右地方的點存入到SyR，新陣列保持原來的升序性質
SyR[j2] = Sx[i] j2++;
}
δL = Divide_conquer（SxL，SyL，δ）; //獲取Sx中的的最小點位距離δL
δR = Divide_conquer（SxR，SyR，δ）; //獲取Sy中的的最小點位距離δR
δ= min (δL,δR);
δ=merge(SyL，SyR，δ); //獲Sx中Sy交界處的最小點位距離，並綜合 δL和δR 求出點集的最小點位距離δ
returnδ;
函式merge(SyL，SyR，δ)
merge(SyL，SyR，δ)
{
i1=1,i2=1;
for(i=1,i<SyL.count,i++) //獲取SyL中在左邊虛框(距離小於δ)內的點，存入到S'yL中，新陣列保持原來的升序性質
{
if(SyL[i].x>L-δ)
then S'yL[i1]= SyL[i], i1++,
}
for(i=1,i<SyR.count,i++) //獲取SyR中在右邊虛框(距離小於δ)內的點，存入到S'yR中，新陣列保持原來的升序性質
{
if(SyR[i].x<L+δ)
then S'yR[i2]= SyR[i], i2++,
}
t=1;
for(i=1,i<S'yL.count,i++)
{
while(S'yR[t].y< S'yL[t].y and t < SyR.count) //獲取點集S'yR內距離點S'yL[t]y座標最接近的點號
{ t++; }
for( j= max(1,t-3), j<=min(t+3,S'yR.count),j++) //計算S'yR中的點與S'yL[t]y座標相鄰的六個點的距離
{
if(d(S'yL[i],S'yL[j])<δ) //如果前兩點之間距離小於δ
then δ = d(S'yL[i],S'yL[j]); //則最小點位距離δ為當前兩點之間距離
}
return δ
}
3）演算法時間複雜度：
首先對點集S的點x座標和y座標進行升序排序，需要迴圈2nlogn次，複雜度為O(2nlogn)
接下來在分治過程中，對於每個S'yL中的點，都需要與S'yR中的6個點進行比較
O(n)= 2O(n/2) + (n/2)*6 （一個點集劃分為左右兩個點集，時間複雜度為左右兩個點集加上中間區域運算之和）
其解為O(n)< O(3nlogn)
因此總的時間複雜度為O(3nlogn)，比蠻力法的O(n2)要高效。