題目背景

MooFest, 2004 Open

題目描述

約翰的N 頭奶牛每年都會參加“哞哞大會”。哞哞大會是奶牛界的盛事。集會上的活動很

多，比如堆乾草，跨柵欄，摸牛仔的屁股等等。它們參加活動時會聚在一起，第i 頭奶牛的座標為Xi，沒有兩頭奶牛的座標是相同的。奶牛們的叫聲很大，第i 頭和第j 頭奶牛交流，會發出max{Vi; Vj}×|Xi − Xj | 的音量，其中Vi 和Vj 分別是第i 頭和第j 頭奶牛的聽力。假設每對奶牛之間同時都在說話，請計算所有奶牛產生的音量之和是多少。

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• 第一行：單個整數N，1 ≤ N ≤ 20000

• 第二行到第N + 1 行：第i + 1 行有兩個整數Vi 和Xi，1 ≤ Vi ≤ 20000; 1 ≤ Xi ≤ 20000

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• 單個整數：表示所有奶牛產生的音量之和

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說明

樸素O(N2)

類似於歸併排序的二分O(N logN)

樹狀陣列O(N logN)

思路：這個題要說思路還是不是很難的，不過容易出錯，為了防止出錯以及後續看不懂，我們先來一個簡單的模擬解法，程式碼如下

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 20010;
long long n, tempSum, ans;
struct Node {
    int x, v;
}node[maxn];
int cmp(Node a, Node b) {
    return a.v > b.v;
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> node[i].v >> node[i].x;
    }
    sort(node + 1, node + n + 1, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        long long sum = 0;
        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
            if (node[j].x <= node[i].x) {
                sum += node[i]. x - node[j].x;
            } else {
                sum += (node[j].x - node[i].x);
            }
        }
        ans += node[i].v * sum;
    }
    cout << ans << endl;
}
 

是不是非常簡單，要是你只滿足於做出這道題，那麼下面你就可以不用看了，若你還想進一步優化這個題目，那麼你可以繼續看看下面的樹狀陣列的講解

首先，根據上面我們模擬的做法，我們知道其實求的就是該點的V值乘以V值比他小的點到該點的橫座標的和，將這個過程執行n次並且把每次結果相加就可以得到最後的結果，在模擬的過程中，我們是把V值從大到小排列，那麼在樹狀陣列中，我們使用從小到大排列

我們用c【】來表示該樹狀數組裡面的值，也就是這個區間內X值的和，num【】陣列表示這區間內的點，sum表示X的座標小於等於傳入引數的和，cnt表示X的座標小於等於傳入引數的個數，因為我們是按V值從小到大排序，那麼我們取出的每一個Node可以和它之前的Node進行運算，然後運算結果有倆種情況需要討論：

1.之前的結點的X值比當前的節點的X值小，那麼 ans = 當前節點的V值（node【i】.v）乘以所有之前所有結點到當前結點的X值的和，所以ans = node【i].v * (node[i].x * cnt- sum);解釋一下就是當前節點的值已經在運算過程中抵消了，我們是這樣運算的，共有cnt個結點的X值小於當前的X值，那麼我們求他們到當前X值的距離可以先算原點到當前X值的總距離然後減去每個點到原點的總距離即可

2.之前的節點的X值比當前的節點的X值大，那麼我們每次用tot減去比節點X小的節點的座標的和，得到的就是所有比當前節點X的值大的和，然後減去比當前節點X大的節點的個數乘以當前的節點的X值，也就計算出比X值大的節點到X的總距離，稍微腦袋裡模擬一下便知道了，tot表示之前出現的點的X座標的和

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define lowbit(i) ((i) & (-i))
const int maxn = 20010;
struct Node{
    int v, x;
}node[maxn];

int cmp(Node a, Node b) {
    return a.v < b.v;
}
long long n, sum, cnt, ans, tot;
int c[maxn], num[maxn];
void update(int x, int v) {
    for (int i = x; i < maxn; i += lowbit(i)) {
        c[i] += v;
        num[i] += 1;
    }
}

void getSum(int x) {
    for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
        sum += c[i];
        cnt += num[i];
    }
}
int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> node[i].v >> node[i].x;
    }
    sort(node + 1, node + 1 + n, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum = 0, cnt = 0;
        update(node[i].x, node[i].x);
        getSum(node[i].x);
        tot += node[i].x;
        ans += node[i].v * (cnt * node[i].x - sum + tot - sum - node[i].x * (i - cnt));

    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}