本文提綱：

• 問題描述
• Kosaraju 演算法

問題描述：

什麼是強連通分量(StronglyConnected Component)(或者，被稱為強連通子圖，Strongly Connected Subgraph)?

首先需要明白的是，強連通分量只可能存在於有向圖中，無向圖中是不存在強連通分量的，當然，無向圖中也有對應物，被稱為連通分量(Connected Component)，求解無向圖中的連通分量，根據具體要求，可以選擇使用並查集或者DFS。

看一張取自wiki的圖就明白什麼是強連通分量了：

以上用虛線圍繞的部分就是一個強連通分量，因此上圖中總共含有三個。

對於一個強連通分量中的任意一對頂點

比如上圖中由a，b，e這三個頂點構成的分量中，任意兩個頂點間都存在路徑可達。

順便也介紹一下有關“縮點”的概念：

由於強連通分量的特殊性，在一些實際應用中，會將每個強連通分量看成一個點，然後進行處理。這樣做主要是為了降低圖的複雜度，特別是在強連通分量規模大、數量多的情況中，利用“縮點”能大幅度降低圖的複雜度。

縮點後得到的圖，必定是DAG。用反正能夠很方便的進行證明：因為若圖中含有環路，即意味著至少有兩個點彼此可達，那麼按照強連通分量的定義，這兩個點應該屬於一個分量中，因而在縮點發生後，會被一個點所代表。由此推匯出矛盾。比如，對上圖進行縮點處理，最後的結果就是：

設(a，b，c) ->a'，(f，g) ->b'，(c，d，h) ->c'

因此最後的圖就可以表示為：

更加具體，更加嚴謹的表述，可以參考：

Kosaraju 演算法

首先摘錄一段wiki上的演算法過程描述：

1. Let G be a directed graph and S be an empty stack.
2. While S does not contain all vertices:
   1. Choose an arbitrary vertex v not in S. Perform a depth-first search starting at v. Each time that depth-first search finishes expanding a vertex u, push u onto S.

3. Reverse the directions of all arcs to obtain the transpose graph.

4. While S is nonempty:
   1. Pop the top vertex v from S. Perform a depth-first search starting at v. The set of visited vertices will give the strongly connected component containing v; record this and remove all these vertices from the graph G and the stack S. Equivalently, breadth-first search (BFS) can be used instead of depth-first search.

仔細觀察步驟2-a，可以發現，這個過程和使用基於DFS的拓撲排序中新增頂點到最終結果棧中的過程幾乎一致。(請參考這裡)只不過這裡的圖不一定是DAG，而拓撲排序中的圖一定是DAG。

在這裡順便提一下在呼叫dfs的過程中，幾種新增頂點到集合的順序。一共有四種順序：

• Pre-Order，在遞迴呼叫dfs之前將當前頂點新增到queue中

• Reverse Pre-Order，在遞迴呼叫dfs之前將當前頂點新增到stack中

• Post-Order，在遞迴呼叫dfs之後將當前頂點新增到queue中
• Reverse Post-Order，在遞迴呼叫dfs之後將當前頂點新增到stack中

最後一種的用途最廣，至少目前看來是這樣，比如步驟2-a以及拓撲排序中，都是利用的Reverse Post-Order來獲取頂點集合。

對於DAG，利用Reverse Post-Order最終獲取的集合就代表對該圖進行拓撲排序的結果，但是對於非DAG而言，這樣處理之後得到的是一種“偽拓撲排序”結果，為什麼這樣說，因為最終的結果不一定滿足拓撲排序中嚴格的偏序定義，比如對文中第一幅圖進行“偽拓撲排序“後的結果為可能為(結果不唯一，具體可以參考拓撲排序那篇文章中的相關部分)：

(a，b，e，c，d，h，g，f)

將結果和原圖對比，可以發現，結果不滿足偏序關係，因為存在迴向邊：

e->a，d->c，h->d，f->g

而這些迴向邊，就是構成強連通分量的關鍵。為了突出這些迴向邊，Kosaraju演算法的步驟三就是將圖進行轉置。轉置後，原來的迴向邊就都變成正向邊了：

a->e，c->d，d->h，g->f

對轉置後的圖按照上面”偽拓撲排序“中頂點出現的順序(a，e，b，c，d，h，g，f)呼叫DFS，即步驟4。

而每次呼叫DFS形成的一顆搜尋樹，就構成了原圖中的一個強連通分量。比如呼叫dfs(a)，會呼叫dfs(e)，緊接著後者有呼叫了dfs(b)。然後依次返回，因此a，b，e就構成了一個強連通分量。依次類推，c，d，h以及g，f也分別構成強連通分量。

回顧一下Kosaraju的主要步驟：

1. 對G求解Reverse Post-Order，即上文中的”偽拓撲排序“
2. 對G進行轉置得到GR
3. 按照第一步得到的集合中頂點出現的順序，對GR呼叫DFS得到若干顆搜尋樹
4. 每一顆搜尋樹就代表了一個強連通分量

坦率地說，這個演算法的想法很巧妙，為了突出迴向邊，而對圖進行轉置，然後對轉置的圖按照之前得到的頂點序列進行DFS呼叫。整個演算法的確能夠正確工作，但是總感覺怪怪的，確實，這個演算法不太好理解，儘管它的實現十分簡單直觀。

public class KosarajuSCC {

	private Digraph digraph;

	private int V;

	private boolean[] visited;

	private int[] components;

	private List<List<Integer>> sccs;

	// record the current component id
	private int current = 0;

	// reverseTopo is not necessarily a topological order, it should be reverse
	// post order instead
	public KosarajuSCC(Digraph digraph, Iterable<Integer> reverseTopo) {
		this.digraph = digraph;
		V = digraph.getV();

		visited = new boolean[V];
		components = new int[V];

		for (int v : reverseTopo) {
			if (!visited[v]) {
				dfs(v);
				current++;
			}
		}
	}

	private void dfs(int v) {
		visited[v] = true;
		components[v] = current;

		for (int w : digraph.adj(v)) {
			if (!visited[w]) {
				dfs(w);
			}
		}
	}

	public int[] getComponents() {
		return components;
	}

	public List<List<Integer>> getSccs() {
		sccs = new ArrayList<List<Integer>>();

		for (int i = 0; i < current; i++) {
			sccs.add(new ArrayList<Integer>());
		}

		for (int i = 0; i < V; i++) {
			sccs.get(components[i]).add(i);
		}

		return sccs;
	}
}

下面對這個演算法的正確性進行證明：(如果沒有興趣，可以直接略過：D)

證明的目標，就是最後一步 ---每一顆搜尋樹代表的就是一個強連通分量

證明：設在圖GR中，呼叫DFS(s)能夠到達頂點v，那麼頂點s和v是強連通的。

兩個頂點如果是強連通的，那麼彼此之間都有一條路徑可達，因為DFS(s)能夠達到頂點v，因此從s到v的路徑必然存在。現在關鍵就是需要證明在GR中從v到s也是存在一條路徑的，也就是要證明在G中存在s到v的一條路徑。

而之所以DFS(s)能夠在DFS(v)之前被呼叫，是因為在對G獲取ReversePost-Order序列時，s出現在v之前，這也就意味著，v是在s之前加入該序列的(因為該序列使用棧作為資料結構，先加入的反而會在序列的後面)。因此根據DFS呼叫的遞迴性質，DFS(v)應該在DFS(s)之前返回，而有兩種情形滿足該條件：

1. DFS(v) START -> DFS(v) END -> DFS(s) START -> DFS(s) END

2. DFS(s) START -> DFS(v) START -> DFS(v) END -> DFS(s) END

是因為而根據目前的已知條件，GR中存在一條s到v的路徑，即意味著G中存在一條v到s的路徑，而在第一種情形下，呼叫DFS(v)卻沒能在它返回前遞迴呼叫DFS(s)，這是和G中存在v到s的路徑相矛盾的，因此不可取。故情形二為唯一符合邏輯的呼叫過程。而根據DFS(s) START ->DFS(v) START可以推匯出從s到v存在一條路徑。

所以從s到v以及v到s都有路徑可達，證明完畢。

複雜度分析：

根據上面總結的Kosaraju演算法關鍵步驟，不難得出，該演算法需要對圖進行兩次DFS，以及一次圖的轉置。所以複雜度為O(V+E)。