前言

　　四邊形不等式是一種動態規劃優化方法，通過對決策單調性的證明及應用，使得總體複雜度降低一個數量級。目前我見過的四邊形不等式的題目不多，且大多數比較裸。四邊形不等式的常見模型及其基礎應用並不難，難點在於與四邊形不等式相關的證明，尤其是題目中出現以前沒有見過的轉移方程的時候。由於本人數學很渣，所以問了很多大神，嘗試了各種方法繞過證明。這裡把我的經驗分享給大家，尤其是像我一樣的數學不好的同學。所以，本文並沒有證明相關的東西，如果大家想看證明，可以閱讀趙爽的文章《動態規劃加速原理之四邊形不等式》，百度文庫上應該有免費下載。

一種基本形式

　　四邊形不等式的基本形式非常簡單，用於常見的區間dp的優化。

　　轉移方程形式為f[i][j] = min{ f[i][k] + f[k+1][j] + w(i,j) | i <= k < j }。

　　這個方程大家再熟悉不過了，長區間可以從短區間轉移過來，w(i,j)表示將閉區間[i,j]合併產生的費用，狀態有O(n^2)個，每個狀態的決策有O(n)個，總複雜度為O(n^3)。

　　現在用四邊形不等式對其優化，首先需要知道什麼是四邊形不等式。

　　若函式w(i,j)滿足w(a,c) + w(b,d) <= w(a,d) + w(b,c)，其中a <= b < c <= d，則稱w滿足四邊形不等式。可以看做一個以(a,c)為左上角，(b,d)為右下角的矩陣中，左上角的值加上右下角的值小於左下角的值加上右上角的值。注意我們要求b < c，因為在實際的區間問題中，既然w(b,c)表示合併區間[b,c]的費用，那麼b一定是小於等於c的。在這個限制下，如果把我們所有的狀態寫成一個矩陣的話，有用的狀態一定是行號小於等於列號的，即所有有用的狀態f[i][j]中，i <= j。

　　若函式w(i,j)滿足w(a,d) >= w(b,c)，其中a <= b <= c <= d，則稱w關於區間包含關係單調。可以看做長區間的值大於等於它包含的短區間的值。

　　設使f[i][j]取到最小值的k為p[i][j]，即在方程f[i][j] = min{ f[i][k] + f[k+1][j] + w(i,j) | i <= k < j }中，k = p[i][j]時，f[i][j]取到最小值。

　　那麼有如下定理：

　　1.若w滿足四邊形不等式，且關於區間包含關係單調，則f也滿足四邊形不等式。

　　2.若f滿足四邊形不等式，則p[i][j-1] <= p[i][j] <= p[i+1][j]，即如果把p看做一個矩陣的話，p在每一行上單調非降，在每一列上單調非降。

　　3.w滿足四邊形不等式，當且僅當w(i,j) + w(i+1,j+1) <= w(i+1,j) + w(i,j+1)。

　　這三個定理我就不在這裡證明了，大家可以去看前言中提到的那篇論文。其中第三個定理可以用來證明w滿足四邊形不等式，我們主要使用第二個定理優化dp。

　　具體如何優化呢？我們原來在計算f[i][j]的時候，列舉的k值範圍是[i,j)，所以單次轉移的複雜度是O(n)，現在，我們既然知道了p[i][j-1] <= p[i][j] <= p[i+1][j]，我們只需要把k的列舉範圍改成p[i][j-1]至p[i+1][j]就好了！總體複雜度就變成了O(n^2)了！注意這裡是閉區間，即p[i][j-1]和p[i+1][j]都能取到。下面給出簡單證明。

　　對於固定的區間長度len，有

　　f[i][i+len]的決策範圍為p[i][i+len-1]至p[i+1][i+len]

　　f[i+1][i+len+1]的決策範圍為p[i+1][i+len]至p[i+2][i+len+1]

　　f[i+2][i+len+2]的決策範圍為p[i+2][i+len+1]至p[i+3][i+len+2]

　　如此腦補下去，我們發現，對於固定的區間長度len，總共的決策只有O(n)個！因為一共有O(n)個不同的區間長度len，所以演算法的總複雜度就是O(n^2)！

　　我們幹了什麼？首先需要證明w滿足四邊形不等式，然後只需要記錄一下每個f[i][j]的決策點，並且改一下k的列舉範圍，就能把時間複雜度降一個量級。

如何繞過證明

　　四邊形不等式優化程式碼十分簡單，且效果也很好，但是最令人頭疼的就是如何證明w滿足四邊形不等式。

　　有可能這個對大家還比較容易，但是要知道，滿足這些性質的轉移方程不止這一種！對於f[i][j] = min{ f[i-1][k] + w(k+1,j) | i-1 <= k < j }這個方程來說，若w滿足四邊形不等式，f同樣滿足四邊形不等式，也可以使用決策單調性優化，但是證明就比較困難了。YJQ教給我一種很好的繞過證明使用四邊形不等式的方法，但是使用起來不是那麼簡單，有一些注意事項。下面的內容可就是別人部落格裡沒有的東西了！

　　大致方法很簡單，如果我們覺得一個方程能用四邊形不等式優化，就把他的所有決策點，也就是p矩陣打印出來，觀察一下在每行每列上是否單調，如果單調，就說明這個方程可以用四邊形不等式優化。不過需要小心一些地方。

　　首先，注意決策點應該在哪些範圍之內單調，比如對於區間dp的方程來說，決策點的單調範圍就應該是行號小於等於列號的那一部分。這點在實際問題中應該很容易體現出來，比如對於區間dp，行號大於列號的那些狀態肯定是無用的，決策單調性也肯定不關它們什麼事。

　　其次，應該注意遞推時列舉的順序和狀態之間的依賴關係。比如對於上面那個方程來說，決策矩陣p在每行每列單調遞增，所以應該把k的列舉範圍該成p[i-1][j]至p[i][j+1]，注意這裡和區間dp就不一樣了，所以應該根據狀態之間的依賴關係靈活調整列舉範圍。而且，如果我們遵循這樣的依賴關係，就應該有p[i][j]依賴於p[i][j+1]，所以k應該從大到小倒著列舉。

　　而且，能不能用四邊形不等式優化貌似還和狀態定義，和轉移方程有關。所以可能會出現某種狀態定義可以優化而另外一種不能的情況？我還沒遇到過（已經開始口胡了）。。。

總結

　　其實四邊形不等式雖然很神，但是題目不算多，轉移方程也就那麼幾種，特徵也比較明顯。至於定理什麼的，實在不會證明記住就好了，然後檢驗決策單調性的話就打個表，畢竟OI中不需要我們會證明的東西還不是一抓一大把（逃）。

　　順便說一下，與四邊形不等式相關的優化，還有一個叫凸完全單調性，也是證明之後利用決策單調性優化。這個我不會，大家可以去百度文庫搜楊哲的ppt《凸完全單調性的加強與應用》看看。

習題（轉自他人部落格）

　　Lawrence HDU 2829

　　Post Office IOI 2000 POJ 1160

　　Monkey Party HDU 3506

參考資料

　　劉汝佳《演算法藝術與資訊學競賽》