卡特蘭數是一個常用在計數情況中使用的一種特殊的數列，其原理如下：

一、原理

若令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)（可以寫成通式：

)

例：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

二、通解

遞推公式的通解:h(n)=C(2n,n)/n+1(或者C(2n,n)-C(2n,n+1)))

三、常用案例

1.求出棧次序

例：有一進棧順序e1、e2、e3、e4、e5，求有多少可能的出棧序列。

分析：假設我們要求的出棧數為n，要得到的出棧序列為f(n)，我們知道，因為入棧的順序是確定的，假設入棧順序記為1、2、3、4、5...n，那麼假設最後出棧的那個數為第k個數，那麼我們要求f(k)時，k-1個數已經先完成進棧出棧，此時有f(k-1)種方式，然後k之後的n-k個數也完成進棧和出棧，也就是f(n-k)種方式，最後第k個數出棧，此時的f(k)=f(k-1)*f(n-k),而每個數都可能是最後出棧的，也就是k的取值範圍是從1到n，滿足卡特蘭數通式:

把n=5，帶入公式即可求得f(5)=42

2.凸多邊形劃分

問題描述：在一個凸多邊形中，通過若干條互不相交的對角線，把這個多邊形劃分成了若干個三角形。任務是鍵盤上輸入凸多邊形的邊數n，求不同劃分的方案數f（n）。比如當n=6時，f（6）=14。

思路：因為凸多邊形的任意一條邊必定屬於某一個三角形，所以我們以某一條邊為基準，以這條邊的兩個頂點為起點P1和終點Pn（P即Point），將該凸多邊形的頂點依序標記為P1、P2、……、Pn，再在該凸多邊形中找任意一個不屬於這兩個點的頂點Pk（2<=k<=n-1），來構成一個三角形，用這個三角形把一個凸多邊形劃分成兩個凸多邊形，其中一個凸多邊形，是由P1，P2，……，Pk構成的凸k邊形（頂點數即是邊數），另一個凸多邊形，是由Pk，Pk+1，……，Pn構成的凸n-k+1邊形。此時，我們若把Pk視為確定一點，那麼根據乘法原理，f（n）的問題就等價於——凸k多邊形的劃分方案數乘以凸n-k+1多邊形的劃分方案數，即選擇Pk這個頂點的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以選2到n-1，所以再根據加法原理，將k取不同值的劃分方案相加，得到的總方案數為：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此處，再看看卡特蘭數的遞推式，答案不言而喻，即為f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。

3.給定節點生成二叉樹

給定n個節點，求能生成多少個不同形狀的二叉樹？

和第一個問題類似，如法炮製，很容易可以看得起滿足f(0)=1，f(1)=1的卡特蘭數