各種排序的穩定性和時間複雜度
阿新 • • 發佈：2019-01-01
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這幾天筆試了好幾次了，連續碰到一個關於常見排序演算法穩定性判別的問題
，往
往還是多選，對於我以及和我一樣拿不準的同學可不是一個能輕易下結論的題目，當
然如
果你筆試之前已經記住了資料結構書上哪些是穩定的，哪些不是穩定的，做起來應該
可以
輕鬆搞定。本文是針對老是記不住這個或者想真正明白到底為什麼是穩定或者不穩定
的人
準備的。
首先，排序演算法的穩定性大家應該都知道，通俗地講就是能保證排序前2個相
等的
數其在序列的前後位置順序和排序後它們兩個的前後位置順序相同。在簡單形式化一
下，
如果Ai = Aj, Ai原來在位置前，排序後Ai還是要在Aj位置前。
其次，說一下穩定性的好處。排序演算法如果是穩定的，那麼從一個鍵上排序，
然後
再從另一個鍵上排序，第一個鍵排序的結果可以為第二個鍵排序所用。基數排序就是
這樣
，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其順序再高位也相同時是不會改
變的
。另外，如果排序演算法穩定，對基於比較的排序演算法而言，元素交換的次數可能會少
一些
(個人感覺，沒有證實)。
回到主題，現在分析一下常見的排序演算法的穩定性，每個都給出簡單的理由。
(1)氣泡排序
氣泡排序就是把小的元素往前調或者把大的元素往後調。比較是相鄰的兩個
元素
比較，交換也發生在這兩個元素之間。所以，如果兩個元素相等，我想你是不會再無
聊地
把他們倆交換一下的；如果兩個相等的元素沒有相鄰，那麼即使通過前面的兩兩交換
把兩
個相鄰起來，這時候也不會交換，所以相同元素的前後順序並沒有改變，所以冒泡排
序是
一種穩定排序演算法。
(2)選擇排序
選擇排序是給每個位置選擇當前元素最小的，比如給第一個位置選擇最小的，
在剩
餘元素裡面給第二個元素選擇第二小的，依次類推，直到第n-1個元素，第n個元素不
用選
擇了，因為只剩下它一個最大的元素了。那麼，在一趟選擇，如果當前元素比一個元
素小
，而該小的元素又出現在一個和當前元素相等的元素後面，那麼交換後穩定性就被破
壞了
。比較拗口，舉個例子，序列5 8 5 2 9，我們知道第一遍選擇第1個元素5會和2交換
，那
麼原序列中2個5的相對前後順序就被破壞了，所以選擇排序不是一個穩定的排序演算法
。
(3)插入排序
插入排序是在一個已經有序的小序列的基礎上，一次插入一個元素。當然，剛
開始
這個有序的小序列只有1個元素，就是第一個元素。比較是從有序序列的末尾開始，
也就
是想要插入的元素和已經有序的最大者開始比起，如果比它大則直接插入在其後面，
否則
一直往前找直到找到它該插入的位置。如果碰見一個和插入元素相等的，那麼插入元
素把
想插入的元素放在相等元素的後面。所以，相等元素的前後順序沒有改變，從原無序
序列
出去的順序就是排好序後的順序，所以插入排序是穩定的。
(4)快速排序
快速排序有兩個方向，左邊的i下標一直往右走，當a[i] <= a[center_index]，
其中
center_index是中樞元素的陣列下標，一般取為陣列第0個元素。而右邊的j下標一直
往左
走，當a[j] > a[center_index]。如果i和j都走不動了，i <= j, 交換a[i]和a[j],
重複
上面的過程，直到i>j。交換a[j]和a[center_index]，完成一趟快速排序。在中樞元
素和
a[j]交換的時候，很有可能把前面的元素的穩定性打亂，比如序列為 5 3 3 4 3 8
9
10 11，現在中樞元素5和3(第5個元素，下標從1開始計)交換就會把元素3的穩定性打
亂，
所以快速排序是一個不穩定的排序演算法，不穩定發生在中樞元素和a[j] 交換的時刻
。
(5)歸併排序
歸併排序是把序列遞迴地分成短序列，遞迴出口是短序列只有1個元素(認為直接
有序
)或者2個序列(1次比較和交換),然後把各個有序的段序列合併成一個有序的長序列，
不斷
合併直到原序列全部排好序。可以發現，在1個或2個元素時，1個元素不會交換，2個
元素
如果大小相等也沒有人故意交換，這不會破壞穩定性。那麼，在短的有序序列合併的
過程
中，穩定是是否受到破壞？沒有，合併過程中我們可以保證如果兩個當前元素相等時
，我
們把處在前面的序列的元素儲存在結果序列的前面，這樣就保證了穩定性。所以，歸
並排
序也是穩定的排序演算法。
(6)基數排序
基數排序是按照低位先排序，然後收集；再按照高位排序，然後再收集；依次類
推，
直到最高位。有時候有些屬性是有優先順序順序的，先按低優先順序排序，再按高優先順序
排序
，最後的次序就是高優先順序高的在前，高優先順序相同的低優先順序高的在前。基數排序
基於
分別排序，分別收集，所以其是穩定的排序演算法。
(7)希爾排序(shell)
希爾排序是按照不同步長對元素進行插入排序，當剛開始元素很無序的時候，步
長最
大，所以插入排序的元素個數很少，速度很快；當元素基本有序了，步長很小，插入
排序
對於有序的序列效率很高。所以，希爾排序的時間複雜度會比o(n^2)好一些。由於多
次插
入排序，我們知道一次插入排序是穩定的，不會改變相同元素的相對順序，但在不同
的插
入排序過程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移動，最後其穩定性就會被打亂
，所
以shell排序是不穩定的。
(8)堆排序
我們知道堆的結構是節點i的孩子為2*i和2*i+1節點，大頂堆要求父節點大於等於
其2
個子節點，小頂堆要求父節點小於等於其2個子節點。在一個長為n 的序列，堆排序
的過
程是從第n/2開始和其子節點共3個值選擇最大(大頂堆)或者最小(小頂堆),這3個元素
之間
的選擇當然不會破壞穩定性。但當為n /2-1, n/2-2, ...1這些個父節點選擇元素時
，就
會破壞穩定性。有可能第n/2個父節點交換把後面一個元素交換過去了，而第n/2-1個
父節
點把後面一個相同的元素沒有交換，那麼這2個相同的元素之間的穩定性就被破壞了
。所
綜上，得出結論: 選擇排序、快速排序、希爾排序、堆排序不是穩定的排序演算法，而
冒泡
排序、插入排序、歸併排序和基數排序是穩定的排序演算法。