假定輸入是由一個隨機過程產生的[0, M)區間上均勻分佈的實數。將區間[0, M)劃分為n個大小相等的子區間（桶），將n個輸入元素分配到這些桶中，對桶中元素進行排序，然後依次連線桶輸入0 ≤A[1..n] <M輔助陣列B[0..n-1]是一指標陣列，指向桶（連結串列）。將n個記錄分佈到各個桶中去。如果有多於一個記錄分到同一個桶中，需要進行桶內排序。最後依次把各個桶中的記錄列出來記得到有序序列。

[桶——關鍵字]對映函式

bindex=f(key)   其中，bindex 為桶陣列B的下標(即第bindex個桶), k為待排序列的關鍵字。桶排序之所以能夠高效，其關鍵在於這個對映函式，它必須做到：如果關鍵字k1<k2，那麼f(k1)<=f(k2)。也就是說B(i)中的最大資料都要小於B(i+1)中最小資料。很顯然，對映函式的確定與資料本身的特點有很大的關係，我們下面舉個例子：

假如待排序列K= {49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 }。這些資料全部在1—100之間。因此我們定製10個桶，然後確定對映函式f(k)=k/10。則第一個關鍵字49將定位到第4個桶中(49/10=4)。依次將所有關鍵字全部堆入桶中，並在每個非空的桶中進行快速排序後得到如下圖所示：

對上圖只要順序輸出每個B[i]中的資料就可以得到有序序列了。

演算法核心程式碼如下：

/// <summary>
        /// 桶排序
        /// 
        ///如果有重複的數字,則需要 List<int>陣列,這裡舉的例子沒有重複的數字
        /// </summary>
        /// <param name="unsorted">待排陣列</param>
        /// <param name="maxNumber">待排陣列中的最大數,如果可以提供的話</param>
        /// <returns></returns>
        static int[] bucket_sort(int[] unsorted, int maxNumber = 97)
        {
            int[] sorted = new int[maxNumber + 1];
            for (int i = 0; i < unsorted.Length; i++)
            {
                sorted[unsorted[i]] = unsorted[i];
            }
            return sorted;
        }

        static void Main(string[] args)
        {
            int[] x = {49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 };
            var sorted = bucket_sort(x, 97);
            for (int i = 0; i < sorted.Length; i++)
            {
                if (sorted[i] > 0)
                    Console.WriteLine(sorted[i]);
            }
            Console.ReadLine();
        }
 

桶排序代價分析

桶排序利用函式的對映關係，減少了幾乎所有的比較工作。實際上，桶排序的f(k)值的計算，其作用就相當於快排中劃分，已經把大量資料分割成了基本有序的資料塊(桶)。然後只需要對桶中的少量資料做先進的比較排序即可。

對N個關鍵字進行桶排序的時間複雜度分為兩個部分：

(1) 迴圈計算每個關鍵字的桶對映函式，這個時間複雜度是O(N)。

(2) 利用先進的比較排序演算法對每個桶內的所有資料進行排序，其時間複雜度為  ∑ O(Ni*logNi) 。其中Ni 為第i個桶的資料量。

很顯然，第(2)部分是桶排序效能好壞的決定因素。儘量減少桶內資料的數量是提高效率的唯一辦法(因為基於比較排序的最好平均時間複雜度只能達到O(N*logN)了)。因此，我們需要儘量做到下面兩點：

(1) 對映函式f(k)能夠將N個數據平均的分配到M個桶中，這樣每個桶就有[N/M]個數據量。

(2) 儘量的增大桶的數量。極限情況下每個桶只能得到一個數據，這樣就完全避開了桶內資料的“比較”排序操作。當然，做到這一點很不容易，資料量巨大的情況下，f(k)函式會使得桶集合的數量巨大，空間浪費嚴重。這就是一個時間代價和空間代價的權衡問題了。

對於N個待排資料，M個桶，平均每個桶[N/M]個數據的桶排序平均時間複雜度為：

O(N)+O(M*(N/M)*log(N/M))=O(N+N*(logN-logM))=O(N+N*logN-N*logM)

當N=M時，即極限情況下每個桶只有一個數據時。桶排序的最好效率能夠達到O(N)。

總結： 桶排序的平均時間複雜度為線性的O(N+C)，其中C=N*(logN-logM)。如果相對於同樣的N，桶數量M越大，其效率越高，最好的時間複雜度達到O(N)。 當然桶排序的空間複雜度 為O(N+M)，如果輸入資料非常龐大，而桶的數量也非常多，則空間代價無疑是昂貴的。此外，桶排序是穩定的。

即以下三點：

補充：在查詢演算法中，基於比較的查詢演算法最好的時間複雜度也是O(logN)。比如折半查詢、平衡二叉樹、紅黑樹等。但是Hash表卻有O(C)線性級別的查詢效率(不衝突情況下查詢效率達到O(1))。那麼：Hash表的思想和桶排序是不是有一曲同工之妙呢?

實際上，桶排序對資料的條件有特殊要求，如果陣列很大的話，那麼分配幾億個桶顯然是不可能的。所以桶排序有其侷限性，適合元素值集合並不大的情況。