整數拆分問題詳解
阿新 • • 發佈:2019-01-01
http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/37879761
問題:
給定一個整數n,要找出n能拆分成多少種不同的若干個數的和與乘積的形式。比如:
4=4 12=1*124=1+3 12=2*6
4=2+2 12=3*4
4=1+1+2 12=2*2*3
4=1+1+1+1
加法形式:
方法1:
可以構造一個母函式F(x)=(1+x+x^2+...+x^n)(1+x^2+x^4+...+x^n)...(1+x^n),將這個母函式展開後,求出每一個x^k前面的係數Ck,就是對應的整數K有多少種拆分的形式。
(母函式:詳見電子科大出版社 - 組合數學p56、p69)
/****************************************************************************/ /* POJ讀書筆記9.5 —— 放蘋果1664&整數拆分問題 皮皮 2014-7-16 */ /****************************************************************************/ #include <stdio.h> /* 整數拆分非遞迴演算法(母函式方法)(不能用於m > n的放蘋果問題中) */ const int MAXN = 120; int c1[MAXN+1],c2[MAXN+1]; //c2陣列表示每一輪乘法後得到係數,c1陣列表示到現在為止乘法得到的係數總和 static void integerDivide3(){ int i,j,k,q; for(i=0;i<=MAXN;i++) c1[i]=1,c2[i]=0; for(i=2;i<=MAXN;i++){ //i表示第i - 1輪乘法x次方變化數(從2開始計算,第一個),即拆分成i的個數(母函式性質) for(j=0;j<=MAXN;j++) //當前*左邊次方數j,為0 ~ MAXN for(k=0;k+j<=MAXN;k+=i) //乘上右邊的次數k c2[j+k]+=c1[j]; //次方數為j + k的係數加1 for(q=0;q<=MAXN;q++) c1[q]=c2[q],c2[q]=0; } int m; scanf("%d", &m); printf("演算法3 整數%d 共有 %d 種拆分方式\n", m, c1[m]); } int main(){ while(1) integerDivide3(); return 0; }
方法2:
/****************************************************************************/ /* POJ讀書筆記9.5 —— 放蘋果&整數拆分問題 皮皮 2014-7-16 */ /****************************************************************************/ #include <stdio.h> /* 拆分演算法,最多劃分n份,而不是剛好劃分n份 */ static int divide(int m, int n){ if( m == 0 || n == 1 ) // || m == 1 可加可不加 return 1; if(m < n) return divide(m, m); /* m >= n時,m拆分為<=n份,則拆分情況 = 拆分了n份 + 拆分了<n份 m放到n個盒子都有,則<=>m-n放到n個盒子;m放到<n個盒子,則<=>m放到n-1個盒子的情況 */ return divide(m - n, n) + divide(m, n - 1); } /* 整數劃分遞迴演算法1(從放蘋果問題引出) */ static void integerDivide(){ int m; scanf("%d", &m); printf("演算法1 整數%d 共有 %d 種拆分方式\n", m, divide(m, m)); } int main(){ while(1) integerDivide(); return 0; }
方法3:
/****************************************************************************/
/* POJ讀書筆記9.5 —— 放蘋果&整數拆分問題 皮皮 2014-7-16 */
/****************************************************************************/
#include <stdio.h>
/* 整數劃分 */
static int integerDivide(int num, int max){ //需要拆分的數是num, 最大拆分出來的數是max
if(num == 0 || max == 1) //num == 0 || max == 1時不可繼續拆分
return 1;
if(num <= max){ //需要拆分的數num < 最大拆分出來的數max,則只能從num大小繼續拆分num
int count = 0;
for(int i = num; i >= 1; i--)
count += integerDivide(num - i, i);
return count;
}else{ //需要拆分的數num > 最大拆分出來的數max,則繼續從max大小拆分num
int count = 0;
for(int i = max; i >= 1; i--)
count += integerDivide(num - i, i); //注意是num - i!!!
return count;
}
}
/* 整數拆分遞迴演算法2 */
static void integerDivide2(){
int m;
scanf("%d", &m);
printf("演算法2 整數%d 共有 %d 種拆分方式\n", m, integerDivide(m, m));
}
int main(){
while(1)
integerDivide2();
return 0;
}
乘積的形式
設n=i*j,dp[n]為整數n拆分成乘積形式的個數,dp[n]=∑dp[i]=∑dp[j] (i∈{i : i*j=n},j∈{j : i*j=n}),這就是這個問題的狀態轉移方程,具有動態規劃問題的最有子結構性質。
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 200000;
int dp[MAXN+1];
int main(){
int i,j,n;
for(dp[1]=1,i=2;i<=MAXN;i++)
for(j=1;i*j<=MAXN;j++)
dp[i*j]+=dp[j];
while(cin>>n) cout<<dp[n]<<endl;
return 0;
}
from:http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/37879761
ref:http://www.cppblog.com/mythit/archive/2009/05/06/82088.html
整數分割組合總數並打印出所有情況http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/192157
演算法練習之整數分割問題java實現:http://www.cnblogs.com/yjiyjige/archive/2013/04/18/3029583.html(有拆分形式輸出)
整數拆分的兩種解法(有輸出和非遞迴演算法)http://blog.csdn.net/lawrencesgj/article/details/8034216