動態規劃英文名為dynamic programming，其中pogramming指的是表格法，而非編寫計算機程式。

基本原理

動態規劃將問題分成若干個相互重疊的子問題，遞迴的求解子問題，儲存子問題的解，再將它們的解組合起來，求出原問題的解。實際操作中，記錄下子問題的結果，儲存在一個表格中，使得公共的子問題只需要計算一次。

最優子結構

問題的最優解由相關子問題的最優解組合而成，一個問題的最優解包含其子問題的最優解。

總結

• 滿足“最優子結構”性質的問題才能用動態規劃法來解；
• 寫出狀態轉移方程和邊界條件，則問題得解；

題目

下面是一個最簡單的動態規劃小題目，沒有之一。

有一座高度是10級臺階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級或者2級臺階。求一共有多少種走法。

思考過程

當只剩最後一步就上到10級的時候，有幾種情況呢？
兩種：走了9級了 和 走了8級了
因此，狀態轉移方程是

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

而邊界條件呢？

F(1) = 1
F(2) = 2

開始程式設計

方法-1 簡單遞迴

做了許多重複計算，時間複雜度太高，達到O(2^N)

方法-2 遞迴+快取

不再做重複計算，時間複雜度只有O(N)了，而空間複雜度也是O(N)

cache = dict()

def f(n): 
    if n < 1:
        return 0
    if n in [1,2]: 
        return n
        
    if cache.get(n) is not None:
        return cache[n]
    else:
        result = f(n-1) + f(n-2)
        cache[n] = result 
        return result
        
        
print(f(100))
 

方法-3 自底向上迭代法

時間複雜度還是O(N), 空間複雜度只有O(1)

int climbing_ways(int n) 
{
    if (n<1) return 0;
    if (n==1 || n==2) return n;
    
    int a=1, b=1, temp=0;
    for(int i=3; i<=n; ++i) {
        temp = a + b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return temp;
}

(完)