第1部分　聊聊概率這件事
第1章　概率的定義　　3
1.1　概率的數學定義　　3
1.2　三扇門（蒙提霍爾問題） ——飛艇視角　　4
1.2.1　蒙提霍爾問題　　5
1.2.2　正確答案與常見錯誤　　6
1.2.3　以飛艇視角表述　　6
1.3　三元組（Ω, F, P） ——上帝視角　　9
1.4　隨機變數　　13
1.5　概率分佈　　17
1.6　適於實際使用的簡記方式　　19
1.6.1　隨機變數的表示方法　　19
1.6.2　概率的表示方法　　20
1.7　Ω是幕後角色　　21
1.7.1　不必在意Ω究竟是什麼　　21
1.7.2　Ω的習慣處理方式　　22
1.7.3　不含Ω（不含上帝視角）的概率論　　23
1.8　一些注意事項　　23
1.8.1　想做什麼　　23
1.8.2　因為是面積……　　24
1.8.3　解釋　　26
第2章　多個隨機變數之間的關係　　29
2.1　各縣的土地使用情況（面積計算的預熱）　　29
2.1.1　不同縣、不同用途的統計（聯合概率與邊緣概率的預熱）　　30
2.1.2　特定縣、特定用途的比例（條件概率的預熱）　　31
2.1.3　倒推比例（貝葉斯公式的預熱）　　32
2.1.4　比例相同的情況（獨立性的預熱）　　34
2.1.5　預熱結束　　38
2.2　聯合概率與邊緣概率　　38
2.2.1　兩個隨機變數　　38
2.2.2　三個隨機變數　　41
2.3　條件概率　　42
2.3.1　條件概率的定義　　42
2.3.2　聯合分佈、邊緣分佈與條件分佈的關係　　45
2.3.3　即使條件中使用的不是等號也一樣適用　　50
2.3.4　三個或更多的隨機變數　　51
2.4　貝葉斯公式　　55
2.4.1　問題設定　　56
2.4.2　貝葉斯的作圖曲　　57
2.4.3　貝葉斯公式　　61
2.5　獨立性　　63
2.5.1　事件的獨立性（定義）　　64
2.5.2　事件的獨立性（等價表述）　　67
2.5.3　隨機變數的獨立性　　70
2.5.4　三個或更多隨機變數的獨立性（需多加註意）　　73
第3章　離散值的概率分佈　　79
3.1　一些簡單的例子　　79
3.2　二項分佈　　82
3.2.1　二項分佈的推導　　82
3.2.2　補充：排列nPk、組合nCk　　83
3.3　期望值　　85
3.3.1　期望值的定義　　85
3.3.2　期望值的基本性質　　87
3.3.3　期望值乘法運算的注意事項　　91
3.3.4　期望值不存在的情況　　93
3.4　方差與標準差　　99
3.4.1　即使期望值相同　　99
3.4.2　方差即“期望值離散程度”的期望值　　100
3.4.3　標準差　　102
3.4.4　常量的加法、乘法及標準化　　104
3.4.5　各項獨立時，和的方差等於方差的和　　108
3.4.6　平方的期望值與方差　　110
3.5　大數定律　　112
3.5.1　獨立同分布　　114
3.5.2　平均值的期望值與平均值的方差　　116
3.5.3　大數定律　　117
3.5.4　大數定律的相關注意事項　　118
3.6　補充內容：條件期望與最小二乘法　　120
3.6.1　條件期望的定義　　120
3.6.2　最小二乘法　　121
3.6.3　上帝視角　　122
3.6.4　條件方差　　123
第4章　連續值的概率分佈　　127
4.1　漸變色列印問題（密度計算的預熱）　　128
4.1.1　用圖表描述油墨的消耗量（累積分佈函式的預熱）　　128
4.1.2　用圖表描述油墨的列印濃度（概率密度函式預熱）　　129
4.1.3　拉伸列印成品對油墨濃度的影響（變數變換的預熱）　　133
4.2　概率為零的情況　　136
4.2.1　出現概率恰好為零的情況　　137
4.2.2　概率為零將帶來什麼問題　　139
4.3　概率密度函式　　140
4.3.1　概率密度函式　　140
4.3.2　均勻分佈　　146
4.3.3　概率密度函式的變數變換　　147
4.4　聯合分佈·邊緣分佈·條件分佈　　152
4.4.1　聯合分佈　　152
4.4.2　本小節之後的閱讀方式　　155
4.4.3　邊緣分佈　　155
4.4.4　條件分佈　　159
4.4.5　貝葉斯公式　　162
4.4.6　獨立性　　163
4.4.7　任意區域的概率·均勻分佈·變數變換　　166
4.4.8　實數值與離散值混合存在的情況　　174
4.5　期望值、方差與標準差　　174
4.5.1　期望值　　175
4.5.2　方差·標準差　　179
4.6　正態分佈與中心極限定理　　180
4.6.1　標準正態分佈　　181
4.6.2　一般正態分佈　　184
4.6.3　中心極限定理　　187
第5章　協方差矩陣、多元正態分佈與橢圓　　195
5.1　協方差與相關係數　　196
5.1.1　協方差　　196
5.1.2　協方差的性質　　199
5.1.3　分佈傾向的明顯程度與相關係數　　200
5.1.4　協方差與相關係數的侷限性　　206
5.2　協方差矩陣　　208
5.2.1　協方差矩陣=方差與協方差的一覽表　　208
5.2.2　協方差矩陣的向量形式表述　　209
5.2.3　向量與矩陣的運算及期望值　　212
5.2.4　向量值隨機變數的補充說明　　215
5.2.5　協方差矩陣的變數變換　　217
5.2.6　任意方向的發散程度　　218
5.3　多元正態分佈　　220
5.3.1　多元標準正態分佈　　220
5.3.2　多元一般正態分佈　　223
5.3.3　多元正態分佈的概率密度函式　　228
5.3.4　多元正態分佈的性質　　230
5.3.5　截面與投影　　232
5.3.6　補充知識：卡方分佈　　239
5.4　協方差矩陣與橢圓的關係　　242
5.4.1　（例項一）單位矩陣與圓　　242
5.4.2　（例項二）對角矩陣與橢圓　　244
5.4.3　（例項三）一般矩陣與傾斜的橢圓　　247
5.4.4　協方差矩陣的侷限性　　251
第2部分　探討概率的應用
第6章　估計與檢驗　　257
6.1　估計理論　　257
6.1.1　描述統計與推斷統計　　257
6.1.2　描述統計　　258
6.1.3　如何理解推斷統計中的一些概念　　260
6.1.4　問題設定　　264
6.1.5　期望罰款金額　　265
6.1.6　多目標優化　　266
6.1.7　（策略一）減少候選項——最小方差無偏估計　　267
6.1.8　（策略二）弱化最優定義——最大似然估計　　269
6.1.9　（策略三）以單一數值作為評價基準——貝葉斯估計　　272
6.1.10　策略選擇的相關注意事項　　275
6.2　檢驗理論　　276
6.2.1　檢驗理論中的邏輯　　276
6.2.2　檢驗理論概述　　278
6.2.3　簡單假設　　279
6.2.4　複合假設　　282
第7章　偽隨機數　　285
7.1　偽隨機數的基礎知識　　285
7.1.1　隨機數序列　　285
7.1.2　偽隨機數序列　　286
7.1.3　典型應用：蒙特卡羅方法　　287
7.1.4　相關主題：密碼理論中的偽隨機數序列·低差異序列　　289
7.2　遵從特定分佈的隨機數的生成　　291
7.2.1　遵從離散值分佈的隨機數的生成　　292
7.2.2　遵從連續值分佈的隨機數的生成　　293
7.2.3　遵從正態分佈的隨機數的生成　　296
7.2.4　補充知識：三角形內及球面上的均勻分佈　　298
第8章　概率論的各類應用　　305
8.1　迴歸分析與多變數分析　　305
8.1.1　通過最小二乘法擬合直線　　305
8.1.2　主成分分析　　312
8.2　隨機過程　　319
8.2.1　隨機遊走　　321
8.2.2　卡爾曼濾波器　　326
8.2.3　馬爾可夫鏈　　331
8.2.4　關於隨機過程的一些補充說明　　342
8.3　資訊理論　　343
8.3.1　熵　　343
8.3.2　二元熵　　347
8.3.3　信源編碼　　349
8.3.4　通道編碼　　352
附錄A　本書涉及的數學基礎知識　　359
A.1　希臘字母　　359
A.2　數　　359
A.2.1　自然數·整數　　359
A.2.2　有理數·實數　　359
A.2.3　複數　　360
A.3　集合　　360
A.3.1　集合的表述方式　　360
A.3.2　無限集的大小　　361
A.3.3　強化練習　　361
A.4　求和符號∑　　362
A.4.1　定義與基本性質　　362
A.4.2　雙重求和　　364
A.4.3　範圍指定　　366
A.4.4　等比數列　　366
A.5　指數與對數　　368
A.5.1　指數函式　　368
A.5.2　高斯積分　　371
A.5.3　對數函式　　374
A.6　內積與長度　　377
附錄B　近似公式與不等式　　381
B.1　斯特林公式　　381
B.2　琴生不等式　　381
B.3　吉布斯不等式　　384
B.4　馬爾可夫不等式與切比雪夫不等式　　385
B.5　切爾諾夫界　　386
B.6　閔可夫斯基不等式與赫爾德不等式　　387
B.7　算術平均值≥ 幾何平均值≥ 調和平均值　　390
附錄C　概率論的補充知識　　393
C.1　隨機變數的收斂　　393
C.1.1　依概率1收斂　　393
C.1.2　依概率收斂　　395
C.1.3　均方收斂　　396
C.1.4　依分佈收斂　　396
C.2　特徵函式　　397
C.3　KL散度與大偏差原理　　399
參考文獻　　404