10個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問有多少種排列方式?

我們可以先把這10個人從低到高排列，然後，選擇5個人排在第一排，那麼剩下的5個人肯定是在第二排。用0表示對應的人在第一排，用1表示對應的人在第二排，那麼含有5個0，5個1的序列，就對應一種方案。

比如0000011111就對應著
第一排:0 1 2 3 4 
第二排:5 6 7 8 9 
0101010101就對應著
第一排:0 2 4 6 8
第二排:1 3 5 7 9
所以，看到問題相應的轉換為，這樣的滿足條件的01序列有多少個。
觀察規律我們發現1的出現前邊必須有一個相應的0對應，所以從左到右的所有序列中0的個數要一直大於1的個數。那這種數列有多少種排列方式呢？

a(n)=a(0)×a(n-1)+a(1)*a(n-2)+...+a(n-1)*a(0)

卡特蘭數非常經典，很多現實的問題都是卡特蘭數，如合法的入棧出棧序列有多少種就是卡特蘭數，為什麼呢？我們可以把0看成入棧操作，1看成出棧操作，即0的累計個數不小於1的排列有多少種。還有很多其他的問題都是卡特蘭數，如二叉樹的個數，有序樹的個數，多邊形分成三角形的個數等。

卡特蘭數的通項是c(2n, n)/(n+1)。

注意組合數學中的運算：A(m, n) = m! / (m-n)!,    C(m, n) = A(m, n) / n! = m! / ((m-n)!*n!),因此卡特蘭數的通項：

         C(2n, n)/(n+1) = (2n!) / ((2n - n)! * n!)  / (n + 1) = (2n!) / (n! * n!) / (n + 1)

卡特蘭數的問題應用：

1. 圓周上有標號為1，2，3，4，……，2n的共計2n個點，這2n個點配對可連成n條弦，且這些弦兩兩不相交的方式數為卡特蘭數C_n

2. 遊樂園門票1元一張，每人限購一張。現在有10個小朋友排隊購票，其中5個小朋友每人只有1元的鈔票一張，另5個小朋友每人只有2元的鈔票一張，售票員沒有準備零錢。問：有多少種排隊方法，使售票員總能找的開零錢？
   

3. 甲乙兩人比賽乒乓球，最後結果為20∶20，問比賽過程中甲始終領先乙的計分情形的種數。

   即甲在得到1分到19分的過程中始終領先乙，其種數是卡特蘭數

   
   

   
   

4. 飯後，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗過的碗一個一個放進碗櫥摞成一摞。一共有n個不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也許因為小妹貪玩而使碗拿進碗櫥不及時，姐姐則把洗過的碗摞在旁邊，問：小妹摞起的碗有多少種可能的方式？

   答：得數是第n個卡特蘭數C_n。

一個汽車隊在狹窄的路面上行駛，不得超車，但可以進入一個死衚衕去加油，然後再插隊行駛，共有n輛汽車，問共有多少種不同的方式使得車隊開出城去？

1. 括號化問題。一個合法的表示式由()包圍，()可以巢狀和連線，如(())()也是合法 表示式；現在有 6 對()，它們可以組成的合法表示式的個數為

2. 矩陣連乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)

3. 出棧次序問題。一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?

4. 類似：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)

5. 將多邊行劃分為三角形問題。將一個凸N+2多邊形區域分成三角形區域的方法數?類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?

6. 給頂節點組成二叉樹的問題。給定N個節點，能構成多少種不同的二叉樹，（能構成h（N）個）Catalan數的解法Catalan數的組合公式為 Cn=C(2n,n) / (n+1);

7. 此數的遞迴公式為 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

   卡特蘭數真是一個神奇的數字，很多組合問題的數量都和它有關係，例如：

   Cn= n對括號正確匹配組成的字串數，例如 3對括號能夠組成：

   ((())) ()(()) ()()() (())() (()())

   Cn= n+1個數相乘，所有的括號方案數。例如， 4個數相乘的括號方案為：

   ((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

   Cn= 擁有 n+1 個葉子節點的二叉樹的數量。例如 4個葉子節點的所有二叉樹形態：

   

   • Cn=n*n的方格地圖中，從一個角到另外一個角，不跨越對角線的路徑數，例如， 4×4方格地圖中的路徑有：

   

   • Cn= n+2條邊的多邊形，能被分割成三角形的方案數，例如 6邊型的分割方案有：

   

   • Cn= 圓桌周圍有 2n個人，他們兩兩握手，但沒有交叉的方案數。

   下面是一些大公司的筆試題

   先來一道阿里巴巴的筆試題目：說16個人按順序去買燒餅，其中8個人每人身上只有一張5塊錢，另外8個人每人身上只有一張10塊錢。燒餅5塊一個，開始時燒餅店老闆身上沒有錢。16個顧客互相不通氣，每人只買一個。問這16個人共有多少種排列方法能避免找不開錢的情況出現。

   C8=1430，所以總數=1430*8！*8！

   2012騰訊實習招聘筆試題

   在圖書館一共6個人在排隊，3個還《面試寶典》一書，3個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數？

   C3=5；所以總數為5*3！*3！=180.