我們知道，基於樣本直接設計分類器需要三個基本要素：判別函式型別、分類器設計準則、尋優演算法。這裡我們討論的線性判別函式型別為：g(x)=wTx+w0。採用不同的準則和不同的尋優演算法就會得到不同的線性分類器。

一、線性判別函式
剛才我們說了，線性分類器的判別函式型是線性判別函式：

g(x)=wTx+w0
其中，w0是一個常數，x是d維的特徵向量，w為權值向量，分別為：
x=⎡⎣⎢⎢⎢x1x2⋯xd⎤⎦⎥⎥⎥w=⎡⎣⎢⎢⎢w1w2⋯wd⎤⎦⎥⎥⎥
方程g(x)=0就是一個決策面，當g(x)是線性函式時，這個決策面就是一個超平面。
對於決策面上的任意兩點xi,xj都有：
wTx1+w0=wTx2

+w0即wT(x1−x2)=0

二、Fisher線性判別分析
兩類的線性判別問題可以看作是把所有樣本都投影到一個方向，然後再這個一維空間中確定一個分類的閾值，過這個閾值點且與投影方向垂直的超平面就是兩類的分類面。

像上圖所示的兩種投影方案，左邊的投影方向可以將兩種樣本區分開來，而右邊的投影方向不能區分開來，所以左邊的投影方向更好。
Fisher線性判別的思想是：選擇投影方向，使得投影后兩類相隔儘可能遠，而同一類內的樣本儘可能聚集。

現在我們來定量的分析Fisher線性判別問題。為了簡單考慮，我們只討論二分類問題。
訓練樣本集是χ={x1,⋯,xN}，其中每個樣本xi是一個d維的向量，其中屬於w

1類的樣本是χ1={x11,⋯,x1N1}，屬於w2類的樣本是χ2={x21,⋯,x2N2}，我們的目的是尋找一個投影方向w(也是一個d維向量)，投影后的樣本為yi=wtxi

定義：
原樣本空間中：
1)類均值向量為：

mi=1Ni∑xj∈χixji=1,2
2)各類的類內離散度矩陣為：
Si=∑xj∈χi(xj−mi)(xj−mi)Ti=1,2
3)總類內離散度矩陣為：
SW=S1+S2
4)類間離散度矩陣為：
Sb=(m1−m2)(m1−m2)T
投影到一維空間後，
1)兩類的均值分別為：

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