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 龜速乘的根據&實現——慢工出細活

比起計算機自帶的乘法，龜速乘的的執行速度還要慢上一些。

但是，它可以有效地保證你的long long不會boom的一聲炸掉，然後送給你一個神奇的數字。

long long quick_mul(long long x,long long y,long long mod) 
{
    long long ans=0;
    while(y!=0){
        if(y&1==1)ans+=x,ans%=mod;
        x
 
=x+x,x%=mod;
        y>>=1; 
    }
    return ans;
}

long long quick_pow(long long x,long long y,long long mod)
{
    long long sum=1;
    while(y!=0){
         if(y&1==1)sum=quick_mul(sum,x,mod),sum%=mod;
             x=quick_mul(x,x,mod),x%=mod;
              y=y>>1;
    }
    return
 
 sum;
}

相信你一眼就能看出來，這兩個東西長的不是一般的像。

如果再仔細觀察一下就會發現，快速冪裡的x是指數級增長，而龜速乘變成了翻倍，僅此而已。

龜速乘總結——快速冪的補充

實際上，龜速乘的確慢，甚至比直接用開始提到的迴圈乘法還要慢（因為龜速乘相當於一個自行取模的乘號），然而慢工出細活，正是它的慢最終為我們解決了資料過大時產生的問題。

歸根結底，龜速乘的出發點就是為了解決彌補快速冪的BUG，因而其思想與快速冪也十分接近。用一點點時間換來資料範圍的擴大，想來是個不虧的交易。

當然，平時不擔心爆long long的情況下，就沒必要把龜速乘加上了~