理解矩陣（三）
阿新 • • 發佈：2019-01-02
理解矩陣（一）
理解矩陣（二）
這兩篇文章發表於去年的4月。在第二部分結束的時候，我說：
“ 矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而 作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個座標系（基）表換到另一個座標系（基）去。而且，變換點 與變換座標系，具有異曲同工的效果。線性代數裡最有趣的奧妙，就蘊含在其中。理解了這些內容，線性代數裡很多定理和規則會變得更加清晰、直覺。
是時不時收到的來信逐漸改變了我的想法。
一年半以來，我收到過不下一百封直接的來信，要求我把後面的部分寫出來。這些來信大部分是國內的網友和學生，也有少數來自正在國外深造的朋友，大部分是鼓勵，有的是誠摯的請求，也有少數嚴厲斥責我不守承諾。不管是何種態度，這都表明他們對我這一點點小小的思考成果的鼓勵，特別是對於我這種思維的視角和嘗試的鼓勵。他們在信中讓我知道，儘管我的數學水平不高，但是我這種從普通人（而不是數學家）視角出發，強調對數學概念和規則的直覺理解的思路，對於很多人是有益的。也許這條路子在數學中絕非正道，也不會走得很遠，但是無論如何，在一定的階段，對一部分人來說，較之目前數學教材普遍採用的思路，這種方式可能更容易理解一些。既然是可能對一部分人有幫助的事情，那麼我就不應該心存太多雜念，應該不斷思考和總結下去。
所以，下面就是你們來信要求我寫出來的東西。
首先來總結一下前面兩部分的一些主要結論：
1. 首先有空間，空間可以容納物件運動的。一種空間對應一類物件。
2. 有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量物件運動的。
3. 運動是瞬時的，因此也被稱為變換。
4. 矩陣是線性空間中運動（變換）的描述。
5. 矩陣與向量相乘，就是實施運動（變換）的過程。
6. 同一個變換，在不同的座標系下表現為不同的矩陣，但是它們的本質是一樣的，所以本徵值相同。
下面讓我們把視力集中到一點以改變我們以往看待矩陣的方式。我們知道，線性空間裡的基本物件是向量，而向量是這麼表示的：
[a1
矩陣呢？矩陣是這麼表示的：
a11, a12, a13, …, a1n
a21, a22, a23, …, a2n
…
an1
不用太聰明，我們就能看出來，矩陣是一組向量組成的。特別的，n維線性空間裡的方陣是由n個n維向量組成的。我們在這裡只討論這個n階的、非奇異的方陣，因為理解它就是理解矩陣的關鍵，它才是一般情況，而其他矩陣都是意外，都是不得不對付的討厭狀況，大可以放在一邊。這裡多一句嘴，學習東西要抓住主流，不要糾纏於旁支末節。很可惜我們的教材課本大多數都是把主線埋沒在細節中的，搞得大家還沒明白怎麼回事就先被灌暈了。比如數學分析，明明最要緊的觀念是說，一個物件可以表達為無窮多個合理選擇的物件的線性和，這個概念是貫穿始終的，也是數學分析的精華。但是課本里自始至終不講這句話，反正就是讓你做吉米多維奇，掌握一大堆解偏題的技巧，記住各種特殊情況，兩類間斷點，怪異的可微和可積條件（誰還記得柯西條件、迪裡赫萊條件…？），最後考試一過，一切忘光光。要我說，還不如反覆強調這一個事情，把它深深刻在腦子裡，別的東西忘了就忘了，真碰到問題了，再查數學手冊嘛，何必因小失大呢？
言歸正傳。如果一組向量是彼此線性無關的話，那麼它們就可以成為度量這個線性空間的一組基，從而事實上成為一個座標系體系，其中每一個向量都躺在一根座標軸上，並且成為那根座標軸上的基本度量單位（長度1）。
現在到了關鍵的一步。看上去矩陣就是由一組向量組成的，而且如果矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種情況），那麼組成這個矩陣的那一組向量也就是線性無關的了，也就可以成為度量線性空間的一個座標系。結論：矩陣描述了一個座標系。
“慢著！”，你嚷嚷起來了，“你這個騙子！你不是說過，矩陣就是運動嗎？怎麼這會矩陣又是座標系了？”
嗯，所以我說到了關鍵的一步。我並沒有騙人，之所以矩陣又是運動，又是座標系，那是因為——
“運動等價於座標系變換”。
對不起，這話其實不準確，我只是想讓你印象深刻。準確的說法是：
“物件的變換等價於座標系的變換”。
或者：
“固定座標系下一個物件的變換等價於固定物件所處的座標系變換。”
說白了就是：
“運動是相對的。”
讓我們想想，達成同一個變換的結果，比如把點(1, 1)變到點(2, 3)去，你可以有兩種做法。第一，座標系不動，點動，把(1, 1)點挪到(2, 3)去。第二，點不動，變座標系，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點還是那個點，可是點的座標就變成(2, 3)了。方式不同，結果一樣。
從第一個方式來看，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣看成是運動描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點）運動的過程。在這個方式下，
Ma = b
的意思是：
“向量a經過矩陣M所描述的變換，變成了向量b。”
而從第二個方式來看，矩陣M描述了一個座標系，姑且也稱之為M。那麼：
Ma = b
的意思是：
“有一個向量，它在座標系M的度量下得到的度量結果向量為a，那麼它在座標系I的度量下，這個向量的度量結果是b。”
這裡的I是指單位矩陣，就是主對角線是1，其他為零的矩陣。
而這兩個方式本質上是等價的。
我希望你務必理解這一點，因為這是本篇的關鍵。
正因為是關鍵，所以我得再解釋一下。
在M為座標系的意義下，如果把M放在一個向量a的前面，形成Ma的樣式，我們可以認為這是對向量a的一個環境宣告。它相當於是說：
“注意了！這裡有一個向量，它在座標系M中度量，得到的度量結果可以表達為a。可是它在別的座標系裡度量的話，就會得到不同的結果。為了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在座標系M中度量的結果。”
那麼我們再看孤零零的向量b：
b
多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實不是b，它是：
Ib
也就是說：“在單位座標系，也就是我們通常說的直角座標系I中，有一個向量，度量的結果是b。”
而 Ma = Ib的意思就是說：
“在M座標系裡量出來的向量a，跟在I座標系裡量出來的向量b，其實根本就是一個向量啊！”
這哪裡是什麼乘法計算，根本就是身份識別嘛。
從這個意義上我們重新理解一下向量。向量這個東西客觀存在，但是要把它表示出來，就要把它放在一個座標系中去度量它，然後把度量的結果（向量在各個座標軸上的投影值）按一定順序列在一起，就成了我們平時所見的向量表示形式。你選擇的座標系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向量還是那個向量，選擇的座標系不同，其表示方式就不同。因此，按道理來說，每寫出一個向量的表示，都應該宣告一下這個表示是在哪個座標系中度量出來的。表示的方式，就是 Ma，也就是說，有一個向量，在M矩陣表示的座標系中度量出來的結果為a。我們平時說一個向量是[2 3 5 7]T，隱含著是說，這個向量在 I 座標系中的度量結果是[2 3 5 7]T，因此，這個形式反而是一種簡化了的特殊情況。
注意到，M矩陣表示出來的那個座標系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個座標系下度量而成的問題。也就是說，表述一個矩陣的一般方法，也應該要指明其所處的基準座標系。所謂M，其實是 IM，也就是說，M中那組基的度量是在 I 座標系中得出的。從這個視角來看，M×N也不是什麼矩陣乘法了，而是聲明瞭一個在M座標系中量出的另一個座標系N，其中M本身是在I座標系中度量出來的。
回過頭來說變換的問題。我剛才說，“固定座標系下一個物件的變換等價於固定物件所處的座標系變換”，那個“固定物件”我們找到了，就是那個向量。但是座標系的變換呢？我怎麼沒看見？
請看：
Ma = Ib
我現在要變M為I，怎麼變？對了，再前面乘以個M-1，也就是M的逆矩陣。換句話說，你不是有一個座標系M嗎，現在我讓它乘以個M-1，變成I，這樣一來的話，原來M座標系中的a在I中一量，就得到b了。
我建議你此時此刻拿起紙筆，畫畫圖，求得對這件事情的理解。比如，你畫一個座標系，x軸上的衡量單位是2，y軸上的衡量單位是3，在這樣一個座標系裡，座標為(1，1)的那一點，實際上就是笛卡爾座標系裡的點(2, 3)。而讓它原形畢露的辦法，就是把原來那個座標系:
2 0
0 3
的x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3，這樣一來座標系就變成單位座標系I了。保持點不變，那個向量現在就變成了(2, 3)了。
怎麼能夠讓“x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3”呢？就是讓原座標系：
2 0
0 3
被矩陣：
1/2 0
0 1/3
左乘。而這個矩陣就是原矩陣的逆矩陣。
下面我們得出一個重要的結論：
“對座標系施加變換的方法，就是讓表示那個座標系的矩陣與表示那個變化的矩陣相乘。”
再一次的，矩陣的乘法變成了運動的施加。只不過，被施加運動的不再是向量，而是另一個座標系。
如果你覺得你還搞得清楚，請再想一下剛才已經提到的結論，矩陣MxN，一方面表明座標系N在運動M下的變換結果，另一方面，把M當成N的字首，當成N的環境描述，那麼就是說，在M座標系度量下，有另一個座標系N。這個座標系N如果放在I座標系中度量，其結果為座標系MxN。
在這裡，我實際上已經回答了一般人在學習線性代數是最困惑的一個問題，那就是為什麼矩陣的乘法要規定成這樣。簡單地說，是因為：
1. 從變換的觀點看，對座標系N施加M變換，就是把組成座標系N的每一個向量施加M變換。
2. 從座標系的觀點看，在M座標系中表現為N的另一個座標系，這也歸結為，對N座標系基的每一個向量，把它在I座標系中的座標找出來，然後匯成一個新的矩陣。
3. 至於矩陣乘以向量為什麼要那樣規定，那是因為一個在M中度量為a的向量，如果想要恢復在I中的真像，就必須分別與M中的每一個向量進行內積運算。我把這個結論的推導留給感興趣的朋友吧。應該說，其實到了這一步，已經很容易了。
綜合以上1/2/3，矩陣的乘法就得那麼規定，一切有根有據，絕不是哪個神經病胡思亂想出來的。
我已經無法說得更多了。矩陣又是座標系，又是變換。到底是座標系，還是變換，已經說不清楚了，運動與實體在這裡統一了，物質與意識的界限已經消失了，一切歸於無法言說，無法定義了。道可道，非常道，名可名，非常名。矩陣是在是不可道之道，不可名之名的東西。到了這個時候，我們不得不承認，我們偉大的線性代數課本上說的矩陣定義，是無比正確的：
“矩陣就是由m行n列數放在一起組成的數學物件。”
好了，這基本上就是我想說的全部了。還留下一個行列式的問題。矩陣M的行列式實際上是組成M的各個向量按照平行四邊形法則搭成一個n維立方體的體積。對於這一點，我只能感嘆於其精妙，卻無法揭開其中奧祕了。也許我掌握的數學工具不夠，我希望有人能夠給我們大家講解其中的道理了。
我不知道是否講得足夠清楚了，反正這一部分需要您花些功夫去推敲。
此外，請大家不必等待這個系列的後續部分。以我的工作情況而言，近期內很難保證繼續投入腦力到這個領域中，儘管我仍然對此興致濃厚。不過如果還有（四）的話，可能是一些站在應用層面的考慮，比如對計算機圖形學相關演算法的理解。但是我不承諾這些討論近期內會出現了。
理解矩陣（二）
這兩篇文章發表於去年的4月。在第二部分結束的時候，我說：
“ 矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而 作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個座標系（基）表換到另一個座標系（基）去。而且，變換點 與變換座標系，具有異曲同工的效果。線性代數裡最有趣的奧妙，就蘊含在其中。理解了這些內容，線性代數裡很多定理和規則會變得更加清晰、直覺。
是時不時收到的來信逐漸改變了我的想法。
一年半以來，我收到過不下一百封直接的來信，要求我把後面的部分寫出來。這些來信大部分是國內的網友和學生，也有少數來自正在國外深造的朋友，大部分是鼓勵，有的是誠摯的請求，也有少數嚴厲斥責我不守承諾。不管是何種態度，這都表明他們對我這一點點小小的思考成果的鼓勵，特別是對於我這種思維的視角和嘗試的鼓勵。他們在信中讓我知道，儘管我的數學水平不高，但是我這種從普通人（而不是數學家）視角出發，強調對數學概念和規則的直覺理解的思路，對於很多人是有益的。也許這條路子在數學中絕非正道，也不會走得很遠，但是無論如何，在一定的階段，對一部分人來說，較之目前數學教材普遍採用的思路，這種方式可能更容易理解一些。既然是可能對一部分人有幫助的事情，那麼我就不應該心存太多雜念，應該不斷思考和總結下去。
所以，下面就是你們來信要求我寫出來的東西。
首先來總結一下前面兩部分的一些主要結論：
1. 首先有空間，空間可以容納物件運動的。一種空間對應一類物件。
2. 有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量物件運動的。
3. 運動是瞬時的，因此也被稱為變換。
4. 矩陣是線性空間中運動（變換）的描述。
5. 矩陣與向量相乘，就是實施運動（變換）的過程。
6. 同一個變換，在不同的座標系下表現為不同的矩陣，但是它們的本質是一樣的，所以本徵值相同。
下面讓我們把視力集中到一點以改變我們以往看待矩陣的方式。我們知道，線性空間裡的基本物件是向量，而向量是這麼表示的：
[a1, a2, a3, …, an]
矩陣呢？矩陣是這麼表示的：
a11, a12, a13, …, a1n
a21, a22, a23, …, a2n
…
an1, an2, an3, …, ann
不用太聰明，我們就能看出來，矩陣是一組向量組成的。特別的，n維線性空間裡的方陣是由n個n維向量組成的。我們在這裡只討論這個n階的、非奇異的方陣，因為理解它就是理解矩陣的關鍵，它才是一般情況，而其他矩陣都是意外，都是不得不對付的討厭狀況，大可以放在一邊。這裡多一句嘴，學習東西要抓住主流，不要糾纏於旁支末節。很可惜我們的教材課本大多數都是把主線埋沒在細節中的，搞得大家還沒明白怎麼回事就先被灌暈了。比如數學分析，明明最要緊的觀念是說，一個物件可以表達為無窮多個合理選擇的物件的線性和，這個概念是貫穿始終的，也是數學分析的精華。但是課本里自始至終不講這句話，反正就是讓你做吉米多維奇，掌握一大堆解偏題的技巧，記住各種特殊情況，兩類間斷點，怪異的可微和可積條件（誰還記得柯西條件、迪裡赫萊條件…？），最後考試一過，一切忘光光。要我說，還不如反覆強調這一個事情，把它深深刻在腦子裡，別的東西忘了就忘了，真碰到問題了，再查數學手冊嘛，何必因小失大呢？
言歸正傳。如果一組向量是彼此線性無關的話，那麼它們就可以成為度量這個線性空間的一組基，從而事實上成為一個座標系體系，其中每一個向量都躺在一根座標軸上，並且成為那根座標軸上的基本度量單位（長度1）。
現在到了關鍵的一步。看上去矩陣就是由一組向量組成的，而且如果矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種情況），那麼組成這個矩陣的那一組向量也就是線性無關的了，也就可以成為度量線性空間的一個座標系。結論：矩陣描述了一個座標系。
“慢著！”，你嚷嚷起來了，“你這個騙子！你不是說過，矩陣就是運動嗎？怎麼這會矩陣又是座標系了？”
嗯，所以我說到了關鍵的一步。我並沒有騙人，之所以矩陣又是運動，又是座標系，那是因為——
“運動等價於座標系變換”。
對不起，這話其實不準確，我只是想讓你印象深刻。準確的說法是：
“物件的變換等價於座標系的變換”。
或者：
“固定座標系下一個物件的變換等價於固定物件所處的座標系變換。”
說白了就是：
“運動是相對的。”
讓我們想想，達成同一個變換的結果，比如把點(1, 1)變到點(2, 3)去，你可以有兩種做法。第一，座標系不動，點動，把(1, 1)點挪到(2, 3)去。第二，點不動，變座標系，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點還是那個點，可是點的座標就變成(2, 3)了。方式不同，結果一樣。
從第一個方式來看，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣看成是運動描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點）運動的過程。在這個方式下，
Ma = b
的意思是：
“向量a經過矩陣M所描述的變換，變成了向量b。”
而從第二個方式來看，矩陣M描述了一個座標系，姑且也稱之為M。那麼：
Ma = b
的意思是：
“有一個向量，它在座標系M的度量下得到的度量結果向量為a，那麼它在座標系I的度量下，這個向量的度量結果是b。”
這裡的I是指單位矩陣，就是主對角線是1，其他為零的矩陣。
而這兩個方式本質上是等價的。
我希望你務必理解這一點，因為這是本篇的關鍵。
正因為是關鍵，所以我得再解釋一下。
在M為座標系的意義下，如果把M放在一個向量a的前面，形成Ma的樣式，我們可以認為這是對向量a的一個環境宣告。它相當於是說：
“注意了！這裡有一個向量，它在座標系M中度量，得到的度量結果可以表達為a。可是它在別的座標系裡度量的話，就會得到不同的結果。為了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在座標系M中度量的結果。”
那麼我們再看孤零零的向量b：
b
多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實不是b，它是：
Ib
也就是說：“在單位座標系，也就是我們通常說的直角座標系I中，有一個向量，度量的結果是b。”
而 Ma = Ib的意思就是說：
“在M座標系裡量出來的向量a，跟在I座標系裡量出來的向量b，其實根本就是一個向量啊！”
這哪裡是什麼乘法計算，根本就是身份識別嘛。
從這個意義上我們重新理解一下向量。向量這個東西客觀存在，但是要把它表示出來，就要把它放在一個座標系中去度量它，然後把度量的結果（向量在各個座標軸上的投影值）按一定順序列在一起，就成了我們平時所見的向量表示形式。你選擇的座標系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向量還是那個向量，選擇的座標系不同，其表示方式就不同。因此，按道理來說，每寫出一個向量的表示，都應該宣告一下這個表示是在哪個座標系中度量出來的。表示的方式，就是 Ma，也就是說，有一個向量，在M矩陣表示的座標系中度量出來的結果為a。我們平時說一個向量是[2 3 5 7]T，隱含著是說，這個向量在 I 座標系中的度量結果是[2 3 5 7]T，因此，這個形式反而是一種簡化了的特殊情況。
注意到，M矩陣表示出來的那個座標系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個座標系下度量而成的問題。也就是說，表述一個矩陣的一般方法，也應該要指明其所處的基準座標系。所謂M，其實是 IM，也就是說，M中那組基的度量是在 I 座標系中得出的。從這個視角來看，M×N也不是什麼矩陣乘法了，而是聲明瞭一個在M座標系中量出的另一個座標系N，其中M本身是在I座標系中度量出來的。
回過頭來說變換的問題。我剛才說，“固定座標系下一個物件的變換等價於固定物件所處的座標系變換”，那個“固定物件”我們找到了，就是那個向量。但是座標系的變換呢？我怎麼沒看見？
請看：
Ma = Ib
我現在要變M為I，怎麼變？對了，再前面乘以個M-1，也就是M的逆矩陣。換句話說，你不是有一個座標系M嗎，現在我讓它乘以個M-1，變成I，這樣一來的話，原來M座標系中的a在I中一量，就得到b了。
我建議你此時此刻拿起紙筆，畫畫圖，求得對這件事情的理解。比如，你畫一個座標系，x軸上的衡量單位是2，y軸上的衡量單位是3，在這樣一個座標系裡，座標為(1，1)的那一點，實際上就是笛卡爾座標系裡的點(2, 3)。而讓它原形畢露的辦法，就是把原來那個座標系:
2 0
0 3
的x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3，這樣一來座標系就變成單位座標系I了。保持點不變，那個向量現在就變成了(2, 3)了。
怎麼能夠讓“x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3”呢？就是讓原座標系：
2 0
0 3
被矩陣：
1/2 0
0 1/3
左乘。而這個矩陣就是原矩陣的逆矩陣。
下面我們得出一個重要的結論：
“對座標系施加變換的方法，就是讓表示那個座標系的矩陣與表示那個變化的矩陣相乘。”
再一次的，矩陣的乘法變成了運動的施加。只不過，被施加運動的不再是向量，而是另一個座標系。
如果你覺得你還搞得清楚，請再想一下剛才已經提到的結論，矩陣MxN，一方面表明座標系N在運動M下的變換結果，另一方面，把M當成N的字首，當成N的環境描述，那麼就是說，在M座標系度量下，有另一個座標系N。這個座標系N如果放在I座標系中度量，其結果為座標系MxN。
在這裡，我實際上已經回答了一般人在學習線性代數是最困惑的一個問題，那就是為什麼矩陣的乘法要規定成這樣。簡單地說，是因為：
1. 從變換的觀點看，對座標系N施加M變換，就是把組成座標系N的每一個向量施加M變換。
2. 從座標系的觀點看，在M座標系中表現為N的另一個座標系，這也歸結為，對N座標系基的每一個向量，把它在I座標系中的座標找出來，然後匯成一個新的矩陣。
3. 至於矩陣乘以向量為什麼要那樣規定，那是因為一個在M中度量為a的向量，如果想要恢復在I中的真像，就必須分別與M中的每一個向量進行內積運算。我把這個結論的推導留給感興趣的朋友吧。應該說，其實到了這一步，已經很容易了。
綜合以上1/2/3，矩陣的乘法就得那麼規定，一切有根有據，絕不是哪個神經病胡思亂想出來的。
我已經無法說得更多了。矩陣又是座標系，又是變換。到底是座標系，還是變換，已經說不清楚了，運動與實體在這裡統一了，物質與意識的界限已經消失了，一切歸於無法言說，無法定義了。道可道，非常道，名可名，非常名。矩陣是在是不可道之道，不可名之名的東西。到了這個時候，我們不得不承認，我們偉大的線性代數課本上說的矩陣定義，是無比正確的：
“矩陣就是由m行n列數放在一起組成的數學物件。”
好了，這基本上就是我想說的全部了。還留下一個行列式的問題。矩陣M的行列式實際上是組成M的各個向量按照平行四邊形法則搭成一個n維立方體的體積。對於這一點，我只能感嘆於其精妙，卻無法揭開其中奧祕了。也許我掌握的數學工具不夠，我希望有人能夠給我們大家講解其中的道理了。
我不知道是否講得足夠清楚了，反正這一部分需要您花些功夫去推敲。
此外，請大家不必等待這個系列的後續部分。以我的工作情況而言，近期內很難保證繼續投入腦力到這個領域中，儘管我仍然對此興致濃厚。不過如果還有（四）的話，可能是一些站在應用層面的考慮，比如對計算機圖形學相關演算法的理解。但是我不承諾這些討論近期內會出現了。
理解矩陣（二）
這兩篇文章發表於去年的4月。在第二部分結束的時候，我說：
“ 矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而 作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個座標系（基）表換到另一個座標系（基）去。而且，變換點 與變換座標系，具有異曲同工的效果。線性代數裡最有趣的奧妙，就蘊含在其中。理解了這些內容，線性代數裡很多定理和規則會變得更加清晰、直覺。
這個留在下一篇再寫吧。
因為有別的事情要做，下一篇可能要過幾天再寫了。 ”
然而這一拖就是一年半。一年半以來，這兩篇粗糙放肆的文章被到處轉載，以至於在Google的搜尋提示中，我的名字跟“矩陣”是一對關聯詞彙。這對於學生時代數學一直很差的我來說，實在是令人惶恐的事情。數學是何等輝煌精緻的學問！代表著人類智慧的最高成就，是人與上帝對話的語言。而我實在連數學的門都還沒進去，不要說談什麼理解，就是稍微難一些的題目我也很少能解開。我有什麼資格去談矩陣這樣重要的一個數學概念呢？更何況，我的想法直觀是直觀，未見的是正確的啊，會不會誤人子弟呢？因此，算了吧，到此為止吧，我這麼想。
是時不時收到的來信逐漸改變了我的想法。
一年半以來，我收到過不下一百封直接的來信，要求我把後面的部分寫出來。這些來信大部分是國內的網友和學生，也有少數來自正在國外深造的朋友，大部分是鼓勵，有的是誠摯的請求，也有少數嚴厲斥責我不守承諾。不管是何種態度，這都表明他們對我這一點點小小的思考成果的鼓勵，特別是對於我這種思維的視角和嘗試的鼓勵。他們在信中讓我知道，儘管我的數學水平不高，但是我這種從普通人（而不是數學家）視角出發，強調對數學概念和規則的直覺理解的思路，對於很多人是有益的。也許這條路子在數學中絕非正道，也不會走得很遠，但是無論如何，在一定的階段，對一部分人來說，較之目前數學教材普遍採用的思路，這種方式可能更容易理解一些。既然是可能對一部分人有幫助的事情，那麼我就不應該心存太多雜念，應該不斷思考和總結下去。
所以，下面就是你們來信要求我寫出來的東西。
首先來總結一下前面兩部分的一些主要結論：
1. 首先有空間，空間可以容納物件運動的。一種空間對應一類物件。
2. 有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量物件運動的。
3. 運動是瞬時的，因此也被稱為變換。
4. 矩陣是線性空間中運動（變換）的描述。
5. 矩陣與向量相乘，就是實施運動（變換）的過程。
6. 同一個變換，在不同的座標系下表現為不同的矩陣，但是它們的本質是一樣的，所以本徵值相同。
下面讓我們把視力集中到一點以改變我們以往看待矩陣的方式。我們知道，線性空間裡的基本物件是向量，而向量是這麼表示的：
[a1
矩陣呢？矩陣是這麼表示的：
a11, a12, a13, …, a1n
a21, a22, a23, …, a2n
…
an1
不用太聰明，我們就能看出來，矩陣是一組向量組成的。特別的，n維線性空間裡的方陣是由n個n維向量組成的。我們在這裡只討論這個n階的、非奇異的方陣，因為理解它就是理解矩陣的關鍵，它才是一般情況，而其他矩陣都是意外，都是不得不對付的討厭狀況，大可以放在一邊。這裡多一句嘴，學習東西要抓住主流，不要糾纏於旁支末節。很可惜我們的教材課本大多數都是把主線埋沒在細節中的，搞得大家還沒明白怎麼回事就先被灌暈了。比如數學分析，明明最要緊的觀念是說，一個物件可以表達為無窮多個合理選擇的物件的線性和，這個概念是貫穿始終的，也是數學分析的精華。但是課本里自始至終不講這句話，反正就是讓你做吉米多維奇，掌握一大堆解偏題的技巧，記住各種特殊情況，兩類間斷點，怪異的可微和可積條件（誰還記得柯西條件、迪裡赫萊條件…？），最後考試一過，一切忘光光。要我說，還不如反覆強調這一個事情，把它深深刻在腦子裡，別的東西忘了就忘了，真碰到問題了，再查數學手冊嘛，何必因小失大呢？
言歸正傳。如果一組向量是彼此線性無關的話，那麼它們就可以成為度量這個線性空間的一組基，從而事實上成為一個座標系體系，其中每一個向量都躺在一根座標軸上，並且成為那根座標軸上的基本度量單位（長度1）。
現在到了關鍵的一步。看上去矩陣就是由一組向量組成的，而且如果矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種情況），那麼組成這個矩陣的那一組向量也就是線性無關的了，也就可以成為度量線性空間的一個座標系。結論：矩陣描述了一個座標系。
“慢著！”，你嚷嚷起來了，“你這個騙子！你不是說過，矩陣就是運動嗎？怎麼這會矩陣又是座標系了？”
嗯，所以我說到了關鍵的一步。我並沒有騙人，之所以矩陣又是運動，又是座標系，那是因為——
“運動等價於座標系變換”。
對不起，這話其實不準確，我只是想讓你印象深刻。準確的說法是：
“物件的變換等價於座標系的變換”。
或者：
“固定座標系下一個物件的變換等價於固定物件所處的座標系變換。”
說白了就是：
“運動是相對的。”
讓我們想想，達成同一個變換的結果，比如把點(1, 1)變到點(2, 3)去，你可以有兩種做法。第一，座標系不動，點動，把(1, 1)點挪到(2, 3)去。第二，點不動，變座標系，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點還是那個點，可是點的座標就變成(2, 3)了。方式不同，結果一樣。
從第一個方式來看，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣看成是運動描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點）運動的過程。在這個方式下，
Ma = b
的意思是：
“向量a經過矩陣M所描述的變換，變成了向量b。”
而從第二個方式來看，矩陣M描述了一個座標系，姑且也稱之為M。那麼：
Ma = b
的意思是：
“有一個向量，它在座標系M的度量下得到的度量結果向量為a，那麼它在座標系I的度量下，這個向量的度量結果是b。”
這裡的I是指單位矩陣，就是主對角線是1，其他為零的矩陣。
而這兩個方式本質上是等價的。
我希望你務必理解這一點，因為這是本篇的關鍵。
正因為是關鍵，所以我得再解釋一下。
在M為座標系的意義下，如果把M放在一個向量a的前面，形成Ma的樣式，我們可以認為這是對向量a的一個環境宣告。它相當於是說：
“注意了！這裡有一個向量，它在座標系M中度量，得到的度量結果可以表達為a。可是它在別的座標系裡度量的話，就會得到不同的結果。為了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在座標系M中度量的結果。”
那麼我們再看孤零零的向量b：
b
多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實不是b，它是：
Ib
也就是說：“在單位座標系，也就是我們通常說的直角座標系I中，有一個向量，度量的結果是b。”
而 Ma = Ib的意思就是說：
“在M座標系裡量出來的向量a，跟在I座標系裡量出來的向量b，其實根本就是一個向量啊！”
這哪裡是什麼乘法計算，根本就是身份識別嘛。
從這個意義上我們重新理解一下向量。向量這個東西客觀存在，但是要把它表示出來，就要把它放在一個座標系中去度量它，然後把度量的結果（向量在各個座標軸上的投影值）按一定順序列在一起，就成了我們平時所見的向量表示形式。你選擇的座標系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向量還是那個向量，選擇的座標系不同，其表示方式就不同。因此，按道理來說，每寫出一個向量的表示，都應該宣告一下這個表示是在哪個座標系中度量出來的。表示的方式，就是 Ma，也就是說，有一個向量，在M矩陣表示的座標系中度量出來的結果為a。我們平時說一個向量是[2 3 5 7]T，隱含著是說，這個向量在 I 座標系中的度量結果是[2 3 5 7]T，因此，這個形式反而是一種簡化了的特殊情況。
注意到，M矩陣表示出來的那個座標系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個座標系下度量而成的問題。也就是說，表述一個矩陣的一般方法，也應該要指明其所處的基準座標系。所謂M，其實是 IM，也就是說，M中那組基的度量是在 I 座標系中得出的。從這個視角來看，M×N也不是什麼矩陣乘法了，而是聲明瞭一個在M座標系中量出的另一個座標系N，其中M本身是在I座標系中度量出來的。
回過頭來說變換的問題。我剛才說，“固定座標系下一個物件的變換等價於固定物件所處的座標系變換”，那個“固定物件”我們找到了，就是那個向量。但是座標系的變換呢？我怎麼沒看見？
請看：
Ma = Ib
我現在要變M為I，怎麼變？對了，再前面乘以個M-1，也就是M的逆矩陣。換句話說，你不是有一個座標系M嗎，現在我讓它乘以個M-1，變成I，這樣一來的話，原來M座標系中的a在I中一量，就得到b了。
我建議你此時此刻拿起紙筆，畫畫圖，求得對這件事情的理解。比如，你畫一個座標系，x軸上的衡量單位是2，y軸上的衡量單位是3，在這樣一個座標系裡，座標為(1，1)的那一點，實際上就是笛卡爾座標系裡的點(2, 3)。而讓它原形畢露的辦法，就是把原來那個座標系:
2 0
0 3
的x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3，這樣一來座標系就變成單位座標系I了。保持點不變，那個向量現在就變成了(2, 3)了。
怎麼能夠讓“x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3”呢？就是讓原座標系：
2 0
0 3
被矩陣：
1/2 0
0 1/3
左乘。而這個矩陣就是原矩陣的逆矩陣。
下面我們得出一個重要的結論：
“對座標系施加變換的方法，就是讓表示那個座標系的矩陣與表示那個變化的矩陣相乘。”
再一次的，矩陣的乘法變成了運動的施加。只不過，被施加運動的不再是向量，而是另一個座標系。
如果你覺得你還搞得清楚，請再想一下剛才已經提到的結論，矩陣MxN，一方面表明座標系N在運動M下的變換結果，另一方面，把M當成N的字首，當成N的環境描述，那麼就是說，在M座標系度量下，有另一個座標系N。這個座標系N如果放在I座標系中度量，其結果為座標系MxN。
在這裡，我實際上已經回答了一般人在學習線性代數是最困惑的一個問題，那就是為什麼矩陣的乘法要規定成這樣。簡單地說，是因為：
1. 從變換的觀點看，對座標系N施加M變換，就是把組成座標系N的每一個向量施加M變換。
2. 從座標系的觀點看，在M座標系中表現為N的另一個座標系，這也歸結為，對N座標系基的每一個向量，把它在I座標系中的座標找出來，然後匯成一個新的矩陣。
3. 至於矩陣乘以向量為什麼要那樣規定，那是因為一個在M中度量為a的向量，如果想要恢復在I中的真像，就必須分別與M中的每一個向量進行內積運算。我把這個結論的推導留給感興趣的朋友吧。應該說，其實到了這一步，已經很容易了。
綜合以上1/2/3，矩陣的乘法就得那麼規定，一切有根有據，絕不是哪個神經病胡思亂想出來的。
我已經無法說得更多了。矩陣又是座標系，又是變換。到底是座標系，還是變換，已經說不清楚了，運動與實體在這裡統一了，物質與意識的界限已經消失了，一切歸於無法言說，無法定義了。道可道，非常道，名可名，非常名。矩陣是在是不可道之道，不可名之名的東西。到了這個時候，我們不得不承認，我們偉大的線性代數課本上說的矩陣定義，是無比正確的：
“矩陣就是由m行n列數放在一起組成的數學物件。”
好了，這基本上就是我想說的全部了。還留下一個行列式的問題。矩陣M的行列式實際上是組成M的各個向量按照平行四邊形法則搭成一個n維立方體的體積。對於這一點，我只能感嘆於其精妙，卻無法揭開其中奧祕了。也許我掌握的數學工具不夠，我希望有人能夠給我們大家講解其中的道理了。
我不知道是否講得足夠清楚了，反正這一部分需要您花些功夫去推敲。
此外，請大家不必等待這個系列的後續部分。以我的工作情況而言，近期內很難保證繼續投入腦力到這個領域中，儘管我仍然對此興致濃厚。不過如果還有（四）的話，可能是一些站在應用層面的考慮，比如對計算機圖形學相關演算法的理解。但是我不承諾這些討論近期內會出現了。
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理解矩陣（二）
這兩篇文章發表於去年的4月。在第二部分結束的時候，我說：
“ 矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而 作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個座標系（基）表換到另一個座標系（基）去。而且，變換點 與變換座標系，具有異曲同工的效果。線性代數裡最有趣的奧妙，就蘊含在其中。理解了這些內容，線性代數裡很多定理和規則會變得更加清晰、直覺。
這個留在下一篇再寫吧。
因為有別的事情要做，下一篇可能要過幾天再寫了。 ”
然而這一拖就是一年半。一年半以來，這兩篇粗糙放肆的文章被到處轉載，以至於在Google的搜尋提示中，我的名字跟“矩陣”是一對關聯詞彙。這對於學生時代數學一直很差的我來說，實在是令人惶恐的事情。數學是何等輝煌精緻的學問！代表著人類智慧的最高成就，是人與上帝對話的語言。而我實在連數學的門都還沒進去，不要說談什麼理解，就是稍微難一些的題目我也很少能解開。我有什麼資格去談矩陣這樣重要的一個數學概念呢？更何況，我的想法直觀是直觀，未見的是正確的啊，會不會誤人子弟呢？因此，算了吧，到此為止吧，我這麼想。
是時不時收到的來信逐漸改變了我的想法。
一年半以來，我收到過不下一百封直接的來信，要求我把後面的部分寫出來。這些來信大部分是國內的網友和學生，也有少數來自正在國外深造的朋友，大部分是鼓勵，有的是誠摯的請求，也有少數嚴厲斥責我不守承諾。不管是何種態度，這都表明他們對我這一點點小小的思考成果的鼓勵，特別是對於我這種思維的視角和嘗試的鼓勵。他們在信中讓我知道，儘管我的數學水平不高，但是我這種從普通人（而不是數學家）視角出發，強調對數學概念和規則的直覺理解的思路，對於很多人是有益的。也許這條路子在數學中絕非正道，也不會走得很遠，但是無論如何，在一定的階段，對一部分人來說，較之目前數學教材普遍採用的思路，這種方式可能更容易理解一些。既然是可能對一部分人有幫助的事情，那麼我就不應該心存太多雜念，應該不斷思考和總結下去。
所以，下面就是你們來信要求我寫出來的東西。
首先來總結一下前面兩部分的一些主要結論：
1. 首先有空間，空間可以容納物件運動的。一種空間對應一類物件。
2. 有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量物件運動的。
3. 運動是瞬時的，因此也被稱為變換。
4. 矩陣是線性空間中運動（變換）的描述。
5. 矩陣與向量相乘，就是實施運動（變換）的過程。
6. 同一個變換，在不同的座標系下表現為不同的矩陣，但是它們的本質是一樣的，所以本徵值相同。
下面讓我們把視力集中到一點以改變我們以往看待矩陣的方式。我們知道，線性空間裡的基本物件是向量，而向量是這麼表示的：
[a1, a2, a3, …, an]
矩陣呢？矩陣是這麼表示的：
a11, a12, a13, …, a1n
a21, a22, a23, …, a2n
…
an1, an2, an3, …, ann
不用太聰明，我們就能看出來，矩陣是一組向量組成的。特別的，n維線性空間裡的方陣是由n個n維向量組成的。我們在這裡只討論這個n階的、非奇異的方陣，因為理解它就是理解矩陣的關鍵，它才是一般情況，而其他矩陣都是意外，都是不得不對付的討厭狀況，大可以放在一邊。這裡多一句嘴，學習東西要抓住主流，不要糾纏於旁支末節。很可惜我們的教材課本大多數都是把主線埋沒在細節中的，搞得大家還沒明白怎麼回事就先被灌暈了。比如數學分析，明明最要緊的觀念是說，一個物件可以表達為無窮多個合理選擇的物件的線性和，這個概念是貫穿始終的，也是數學分析的精華。但是課本里自始至終不講這句話，反正就是讓你做吉米多維奇，掌握一大堆解偏題的技巧，記住各種特殊情況，兩類間斷點，怪異的可微和可積條件（誰還記得柯西條件、迪裡赫萊條件…？），最後考試一過，一切忘光光。要我說，還不如反覆強調這一個事情，把它深深刻在腦子裡，別的東西忘了就忘了，真碰到問題了，再查數學手冊嘛，何必因小失大呢？
言歸正傳。如果一組向量是彼此線性無關的話，那麼它們就可以成為度量這個線性空間的一組基，從而事實上成為一個座標系體系，其中每一個向量都躺在一根座標軸上，並且成為那根座標軸上的基本度量單位（長度1）。
現在到了關鍵的一步。看上去矩陣就是由一組向量組成的，而且如果矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種情況），那麼組成這個矩陣的那一組向量也就是線性無關的了，也就可以成為度量線性空間的一個座標系。結論：矩陣描述了一個座標系。
“慢著！”，你嚷嚷起來了，“你這個騙子！你不是說過，矩陣就是運動嗎？怎麼這會矩陣又是座標系了？”
嗯，所以我說到了關鍵的一步。我並沒有騙人，之所以矩陣又是運動，又是座標系，那是因為——
“運動等價於座標系變換”。
對不起，這話其實不準確，我只是想讓你印象深刻。準確的說法是：
“物件的變換等價於座標系的變換”。
或者：
“固定座標系下一個物件的變換等價於固定物件所處的座標系變換。”
說白了就是：
“運動是相對的。”
讓我們想想，達成同一個變換的結果，比如把點(1, 1)變到點(2, 3)去，你可以有兩種做法。第一，座標系不動，點動，把(1, 1)點挪到(2, 3)去。第二，點不動，變座標系，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點還是那個點，可是點的座標就變成(2, 3)了。方式不同，結果一樣。
從第一個方式來看，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣看成是運動描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點）運動的過程。在這個方式下，
Ma = b
的意思是：
“向量a經過矩陣M所描述的變換，變成了向量b。”
而從第二個方式來看，矩陣M描述了一個座標系，姑且也稱之為M。那麼：
Ma = b
的意思是：
“有一個向量，它在座標系M的度量下得到的度量結果向量為a，那麼它在座標系I的度量下，這個向量的度量結果是b。”
這裡的I是指單位矩陣，就是主對角線是1，其他為零的矩陣。
而這兩個方式本質上是等價的。
我希望你務必理解這一點，因為這是本篇的關鍵。
正因為是關鍵，所以我得再解釋一下。
在M為座標系的意義下，如果把M放在一個向量a的前面，形成Ma的樣式，我們可以認為這是對向量a的一個環境宣告。它相當於是說：
“注意了！這裡有一個向量，它在座標系M中度量，得到的度量結果可以表達為a。可是它在別的座標系裡度量的話，就會得到不同的結果。為了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在座標系M中度量的結果。”
那麼我們再看孤零零的向量b：
b
多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實不是b，它是：
Ib
也就是說：“在單位座標系，也就是我們通常說的直角座標系I中，有一個向量，度量的結果是b。”
而 Ma = Ib的意思就是說：
“在M座標系裡量出來的向量a，跟在I座標系裡量出來的向量b，其實根本就是一個向量啊！”
這哪裡是什麼乘法計算，根本就是身份識別嘛。
從這個意義上我們重新理解一下向量。向量這個東西客觀存在，但是要把它表示出來，就要把它放在一個座標系中去度量它，然後把度量的結果（向量在各個座標軸上的投影值）按一定順序列在一起，就成了我們平時所見的向量表示形式。你選擇的座標系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向量還是那個向量，選擇的座標系不同，其表示方式就不同。因此，按道理來說，每寫出一個向量的表示，都應該宣告一下這個表示是在哪個座標系中度量出來的。表示的方式，就是 Ma，也就是說，有一個向量，在M矩陣表示的座標系中度量出來的結果為a。我們平時說一個向量是[2 3 5 7]T，隱含著是說，這個向量在 I 座標系中的度量結果是[2 3 5 7]T，因此，這個形式反而是一種簡化了的特殊情況。
注意到，M矩陣表示出來的那個座標系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個座標系下度量而成的問題。也就是說，表述一個矩陣的一般方法，也應該要指明其所處的基準座標系。所謂M，其實是 IM，也就是說，M中那組基的度量是在 I 座標系中得出的。從這個視角來看，M×N也不是什麼矩陣乘法了，而是聲明瞭一個在M座標系中量出的另一個座標系N，其中M本身是在I座標系中度量出來的。
回過頭來說變換的問題。我剛才說，“固定座標系下一個物件的變換等價於固定物件所處的座標系變換”，那個“固定物件”我們找到了，就是那個向量。但是座標系的變換呢？我怎麼沒看見？
請看：
Ma = Ib
我現在要變M為I，怎麼變？對了，再前面乘以個M-1，也就是M的逆矩陣。換句話說，你不是有一個座標系M嗎，現在我讓它乘以個M-1，變成I，這樣一來的話，原來M座標系中的a在I中一量，就得到b了。
我建議你此時此刻拿起紙筆，畫畫圖，求得對這件事情的理解。比如，你畫一個座標系，x軸上的衡量單位是2，y軸上的衡量單位是3，在這樣一個座標系裡，座標為(1，1)的那一點，實際上就是笛卡爾座標系裡的點(2, 3)。而讓它原形畢露的辦法，就是把原來那個座標系:
2 0
0 3
的x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3，這樣一來座標系就變成單位座標系I了。保持點不變，那個向量現在就變成了(2, 3)了。
怎麼能夠讓“x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3”呢？就是讓原座標系：
2 0
0 3
被矩陣：
1/2 0
0 1/3
左乘。而這個矩陣就是原矩陣的逆矩陣。
下面我們得出一個重要的結論：
“對座標系施加變換的方法，就是讓表示那個座標系的矩陣與表示那個變化的矩陣相乘。”
再一次的，矩陣的乘法變成了運動的施加。只不過，被施加運動的不再是向量，而是另一個座標系。
如果你覺得你還搞得清楚，請再想一下剛才已經提到的結論，矩陣MxN，一方面表明座標系N在運動M下的變換結果，另一方面，把M當成N的字首，當成N的環境描述，那麼就是說，在M座標系度量下，有另一個座標系N。這個座標系N如果放在I座標系中度量，其結果為座標系MxN。
在這裡，我實際上已經回答了一般人在學習線性代數是最困惑的一個問題，那就是為什麼矩陣的乘法要規定成這樣。簡單地說，是因為：
1. 從變換的觀點看，對座標系N施加M變換，就是把組成座標系N的每一個向量施加M變換。
2. 從座標系的觀點看，在M座標系中表現為N的另一個座標系，這也歸結為，對N座標系基的每一個向量，把它在I座標系中的座標找出來，然後匯成一個新的矩陣。
3. 至於矩陣乘以向量為什麼要那樣規定，那是因為一個在M中度量為a的向量，如果想要恢復在I中的真像，就必須分別與M中的每一個向量進行內積運算。我把這個結論的推導留給感興趣的朋友吧。應該說，其實到了這一步，已經很容易了。
綜合以上1/2/3，矩陣的乘法就得那麼規定，一切有根有據，絕不是哪個神經病胡思亂想出來的。
我已經無法說得更多了。矩陣又是座標系，又是變換。到底是座標系，還是變換，已經說不清楚了，運動與實體在這裡統一了，物質與意識的界限已經消失了，一切歸於無法言說，無法定義了。道可道，非常道，名可名，非常名。矩陣是在是不可道之道，不可名之名的東西。到了這個時候，我們不得不承認，我們偉大的線性代數課本上說的矩陣定義，是無比正確的：
“矩陣就是由m行n列數放在一起組成的數學物件。”
好了，這基本上就是我想說的全部了。還留下一個行列式的問題。矩陣M的行列式實際上是組成M的各個向量按照平行四邊形法則搭成一個n維立方體的體積。對於這一點，我只能感嘆於其精妙，卻無法揭開其中奧祕了。也許我掌握的數學工具不夠，我希望有人能夠給我們大家講解其中的道理了。
我不知道是否講得足夠清楚了，反正這一部分需要您花些功夫去推敲。
此外，請大家不必等待這個系列的後續部分。以我的工作情況而言，近期內很難保證繼續投入腦力到這個領域中，儘管我仍然對此興致濃厚。不過如果還有（四）的話，可能是一些站在應用層面的考慮，比如對計算機圖形學相關演算法的理解。但是我不承諾這些討論近期內會出現了。
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