發現很多東西不記下來過一段時間就想不明白了，先整理一部分，嗯不對的地方請路過的同學指正~

首先，最短路徑相關演算法通常依賴一個重要性質，即最短路徑的子路徑也是最短路。證明如下：

單源最短路：

1、Bellman-Fold演算法 （將權值變為相反數，可以求最長路）

陣列dis[i]]記錄從源點s到頂點i的路徑長度，初始化陣列dis[i]為正無窮, dis[s]為0；

以下操作迴圈執行至多n-1次，n為頂點數：

這是因為最短路從1到n，最多經過n-1條邊，而最上邊每一層for迴圈，實際上是求從源點出發，只經過k條邊最短路是多少，k最多n-1

對於每一條邊e(u, v)，如果dis[u] + w(u, v) < dis[v]，則另dis[v] = dis[u]+w(u, v)。w(u, v)為邊e(u,v)的權值；

若上述操作沒有對Distant進行更新，說明最短路徑已經查詢完畢，或者部分點不可達，跳出迴圈（用flag標記優化）。否則執行下次迴圈；

為了檢測圖中是否存在負環路，即權值之和小於0的環路。對於每一條邊e(u, v)，如果存在dis[u] + w(u, v) < dis[v]的邊，則圖中存在負環路，即是說改圖無法求出單源最短路徑。否則陣列dis[n]中記錄的就是源點s到各頂點的最短路徑長度。

複雜度為O(VE)，最短路可以處理負環。

2、DAG(有向無環圖) Shortest Path （可以求最長路）

因為是無環圖，可以首先進行拓撲排序，得到一個所有點的線性排列，這一步複雜度為O（V+E）

然後根據拓撲排序的次序對每一個節點進行處理：即對從該節點出發的所有邊進行鬆弛操作。總複雜度為O（V+E）

poj 3249

http://www.cnblogs.com/yanlingyin/archive/2011/11/12/2246716.html 最長路標記路徑

3、Dijkstra （不能改為最長路）

堆優化時間複雜度可為O(N*logN)

4、SPFA （權值取負，可以求最長路）

可以處理負權邊，即進隊次數超過N次為出現負環。每次從佇列中取點進行鬆弛操作。

複雜度為O(KE)，一般情況下K小於等於2。

SPFA對Bellman-Ford演算法優化的關鍵之處在於意識到：只有那些在前一遍鬆弛中改變了距離估計值的點，才可能引起他們的鄰接點的距離估計值的改變

多源最短路：

1、Floyd演算法 （可以求最長路，但是有可能存在正環最長路不存在，無法判斷）

從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j，2是從i經過若干個節點k到j。所以，我們假設Dis(i,j)為節點u到節點v的最短路徑的距離，對於每一個節點k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短，我們便設定Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當我們遍歷完所有節點k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。

最開始初始化dis[i][j]為直接相連的權值

最外層的for迴圈實際上表示的是：僅利用點１到點ｋ從ｉ到ｊ的最短路是多少。所以三層ｆｏｒ迴圈都是從點１到點ｎ

時間複雜度Ｏ（ｎ^3）,空間複雜度O（n^2）

同時還可以加入path[]陣列儲存路徑

http://blog.csdn.net/ll365594480/article/details/6792096

變形：floyd變形求最小環，這個連結講的很清楚

http://www.cnblogs.com/Yz81128/archive/2012/08/15/2640940.html

例題：poj 1734

應用：

1、最短路解決差分約束問題

可行解的求法

2、單源最短路（最樸素）

3、多元起點單源目的地：反向加邊處理

4、所有結對點最短路：fold-warshall

5、各演算法儲存最短路路徑