零、前言

這篇是為了下一篇做點鋪墊，也是來複習一些數學基礎
本篇屬於休閒娛樂，不要太較真，小科普一下，不喜勿噴
本文知識點前4點你可以隨便看看，但第5點非常重要,本文原始碼見捷文規範

本文知識點：
1)數學函式的概念
2)直角座標系的下函式圖形
3)極座標下的函式圖象
4)引數方程下的函式圖形
5)正弦函式的詳細分析(為下一篇文章做鋪墊)

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一、數學函式的概念：

1.高中數學必修1：

設A,B為非空的數集，如果按照某種確定的對應關係f,  
使對於集合A中的任意的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，
那麼就稱"f:A→B"為從集合A到集合B的一個函式，記作：
y=f(x),x∈A

其中，x叫做自變數，x的取值範圍叫做函式的[定義域]
與x的值對應的y值叫做函式值，函式值的集合{f(x)|x∈A}叫做函式的[值域]
複製程式碼
 

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2.大學高等數學

設數集D⊂ R,則稱對映f:D→R為定義在D上的函式，通常簡記為
y=f(x),x∈ D

其中x稱自變數，y稱因變數，D稱定義域，記作Df,即Df=D.
值域：Rf=f(D)={y|y=f(x),x∈ D}
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3.對映：

設X,Y是兩個非集合，如果存在一個法則f，使的對X中的每個元素x,
按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為X到Y的對映，記作
f:X→Y

其中y稱為元素x(在對映f下)的像，並記作f(x),即y=f(x)
而元素x稱為元素y(在對映f下)的原像
複製程式碼

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二、直角座標系的下函式圖形

這裡只是模擬函式，然後繪製出可視的圖象
數學中的實數是連續的，這裡在螢幕中將畫素作為基本的單元
繪圖核心：點整合線，單點半徑1px
自變數：x
定義域：Df用集合Set表示
函式關係：函式f(x)
點集用Map表示，x→y

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0.網格與座標系的繪製

網格和座標系我已經封裝，初始View如下：

public class MathView extends View {
    private Point mCoo = new Point(500, 700);//座標系
    private Picture mCooPicture;//座標系canvas元件
    private Picture mGridPicture;//網格canvas元件
    private Paint mHelpPint;//輔助畫筆
    private Paint mPaint;//主畫筆
    private Path mPath;//主路徑
    public MathView(Context context) {
        this(context, null);
    }

    public MathView(Context context, @Nullable AttributeSet attrs) {
        super(context, attrs);
        init();//初始化
    }

    private void init
 
() {
        //初始化主畫筆
        mPaint = new Paint(Paint.ANTI_ALIAS_FLAG);
        mPaint.setColor(Color.BLUE);
        mPaint.setStrokeWidth(2);
        mPaint.setStyle(Paint.Style.STROKE);
        mPaint.setStrokeCap(Paint.Cap.ROUND);
        //初始化主路徑
        mPath = new Path();

        //初始化輔助
        mHelpPint = HelpDraw.getHelpPint(Color.RED);
        mCooPicture = HelpDraw.getCoo(getContext(), mCoo);
        mGridPicture = HelpDraw.getGrid(getContext());
    }
    @Override
    protected void onDraw(Canvas canvas) {
        super.onDraw(canvas);
        HelpDraw.draw(canvas, mGridPicture, mCooPicture);
        canvas.save();
        canvas.translate(mCoo.x, mCoo.y);
        canvas.scale(1, -1);//y軸向上
        canvas.restore();
    }

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具體細節這裡不說了，詳見：Android關於Canvas你所知道的和不知道的一切,或原始碼

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1.一次函式：y=x,定義域[-200,300]

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1.1：幾個成員變數

private TreeSet<Float> Df = new TreeSet<>();//定義域
private Map<Float, Float> funMap = new HashMap<>();//對映表
private Paint mTextPaint;//文字畫筆
複製程式碼

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1.2:初始化定義域

/**
 * 初始化定義域
 */
private void initDf() {
    for (float i = -200; i <= 300; i++) {
        Df.add(i);//初始化定義域
    }
}
複製程式碼

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1.3：對應法則fx

/**
 * 對應法則
 * @param x 原像(自變數)
 * @return 像(因變數)
 */
private float f(Float x) {
    float y = x;
    return y;
}
複製程式碼

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1.4:遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入對映表

/**
 * 遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入對映表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        funMap.put(x, f(x));
    });
    //新增所有點
}
複製程式碼

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1.5:繪製對映表

/**
 * 繪製對映表
 * @param canvas 畫筆
 * @param map 點集對映表
 */
private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
    map.forEach((k, v) -> {
        canvas.drawPoint(k, v, mPaint);
    });
}
複製程式碼

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2.絕對值函式：y=|x|,定義域[-200,300]

只需改一點

/**
 * 對應法則
 * @param x 原像(自變數)
 * @return 像(因變數)
 */
private float f(Float x) {
    float y=Math.abs(x);
    return y;
}
複製程式碼

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3.二次函式,定義域[-200,300]

/**
 * 對應法則
 * @param x 原像(自變數)
 * @return 像(因變數)
 */
private float f(Float x) {
    float y=(x - 100) * (x - 100) / 200 + 100;
    return y;
}
複製程式碼

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4.對數函式：log10(x)為例,定義域[1,1000]

/**
 * 初始化定義域
 */
private void initDf() {
    for (float i = 1; i <= 1000; i++) {
        Df.add(i);//初始化定義域
    }
}

/**
 * 對應法則
 *
 * @param x 原像(自變數)
 * @return 像(因變數)
 */
private float f(Float x) {
    float y = (float) (100.f * Math.log10(x));
    return y;
}
複製程式碼

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5.指數函式：定義域[-400,500]

/**
 * 初始化定義域
 */
private void initDf() {
    for (float i = -400; i <= 500; i++) {
        Df.add(i);//初始化定義域
    }
}

/**
 * 對應法則
 *
 * @param x 原像(自變數)
 * @return 像(因變數)
 */
private float f(Float x) {
    float y= 100*(float) Math.pow(Math.E,x/300f);
    return y;
}
複製程式碼

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6.正弦函式：定義域[-360°,450°]

/**
 * 初始化定義域
 */
private void initDf() {
    for (float i =-360; i <= 450; i++) {
        Df.add(i);//初始化定義域
    }
}

/**
 * 對應法則
 *
 * @param x 原像(自變數)
 * @return 像(因變數)
 */
private float f(Float x) {
    float y= (float) (100*Math.sin(Math.PI/180*x));
    return y;
}
複製程式碼

經歷過上面幾個函式的繪製，不難發現，只有更改對應法則，即函式關係式就可以了

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三、極座標下的函式圖象

1).尋找角度thta和長度p的函式關係
2).使用極座標與直角座標系的轉換關係來繪製點集

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1.笛卡爾心型線：ρ= 100*(1-cosθ)

/**
 * 初始化定義域
 */
private void initDf() {
    for (float i = 1; i <= 360; i++) {
        Df.add(i);//初始化定義域
    }
}

/**
 * 繪製對映表
 *
 * @param canvas 畫筆
 * @param map    點集對映表
 */
private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
    map.forEach((thta, p) -> {
        Log.e(TAG, "drawMap: "+p+thta);
        canvas.drawPoint((float) (p * Math.cos(thta)), (float) (p * Math.sin(thta)), mPaint);
    });
}

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變數)
 * @return 像(因變數)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = (float) (100 * (1 - Math.cos(thta)));
    return p;
}

/**
 * 遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入對映表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        float thta = (float) (Math.PI / 180 * x);
        funMap.put(thta, f(thta));
    });
    //新增所有點
}
複製程式碼

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2.四葉草：ρ= 100*(1-4*sinθ)

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變數)
 * @return 像(因變數)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = (float) (100 * (1 - Math.sin(4 * thta)));
    return p;
}
複製程式碼

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3.畫著玩：ρ=(e^(cosθ)- 2cos(4θ) + [sin(θ/12)]^5)*100

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變數)
 * @return 像(因變數)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = (float) (100f*(Math.pow(Math.E,Math.cos(thta)) - 2 * Math.cos(4 * thta) + Math.pow(Math.sin(thta / 12), 5)));;
    return p;
}
複製程式碼

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4.渦旋線：ρ= a*θ

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變數)
 * @return 像(因變數)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = 30*thta;
    return p;
}
複製程式碼

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5.極座標下的圓

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變數)
 * @return 像(因變數)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = 200;
    return p;
}

複製程式碼

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四、引數方程下的函式圖象

1.雙曲線：x=a/cosα,y=btanα

    /**
     * 初始化定義域
     */
    private void initDf() {
        for (float i = 0; i <= 360 ; i++) {
            Df.add(i);//初始化定義域
        }
    }

    /**
     * 繪製對映表
     *
     * @param canvas 畫筆
     * @param map    點集對映表
     */
    private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
        map.forEach((k, v) -> {
            canvas.drawPoint(k, v, mPaint);
        });
    }

    /**
     * 對應法則
     *
     * @param thta 原像(自變數)
     * @return y像(因變數)
     */
    private float y(Float thta) {
        float y = (float) (100 * Math.tan(thta));
        return y;
    }

    /**
     * 對應法則
     *
     * @param thta 原像(自變數)
     * @return x像(因變數)
     */
    private float x(Float thta) {
        float x = (float) (200 / Math.cos(thta));
        return x;
    }

    /**
     * 遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入對映表
     */
    private void map() {
        Df.forEach(x -> {
            float thta = (float) (Math.PI / 180 * x);
            funMap.put(x(thta), y(thta));
        });
        //新增所有點
    }
複製程式碼

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2.橢圓：x=a*cosα,y=bsinα

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變數)
 * @return y像(因變數)
 */
private float y(Float thta) {
    float y = (float) (300 * Math.sin(thta));
    return y;
}
/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變數)
 * @return x像(因變數)
 */
private float x(Float thta) {
    float x = (float) (400 * Math.cos(thta));
    return x;
}
複製程式碼

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3.引數方程:雙鈕線x=a√(cos2θ )cosθ,y=a√(cos2θ)sinθ

/**
 * 對應法則:y=a√(cos2θ)sinθ
 *
 * @param thta 原像(自變數)
 * @return y像(因變數)
 */
private float y(Float thta) {
    float y = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.sin(thta));
    return y;
}

/**
 * 對應法則:x=a√(cos2θ )cosθ
 *
 * @param thta 原像(自變數)
 * @return x像(因變數)
 */
private float x(Float thta) {
    float x = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.cos(thta));
    return x;
}
複製程式碼

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五、分析與優化

1.分析

你可能已經吐槽了:什麼鬼，怎麼後面都是斷斷續續的點拼成的
等等...先別急，我們來看看這幅圖能說明什麼?
先看一下定義域: [-360,450]，共810個點，每個點半徑1px，每個點橫向距離1px
點密集則說明相鄰兩點間的dy很小，相反，稀疏則說明相鄰兩點間的dy很大
也就是密集說明函式變化的幅度小，稀疏說明函式變化的幅度大
當相鄰兩點距離大於圓的直徑（2px）時，視覺上會看出兩個點，即不連續。

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2.分析總結

為了方便描述，這裡定義了幾個概念

如果把一條完美的函式曲線看作P，
那所有現實中(紙、螢幕)的函式圖象P'都是對P的取點模擬，
從P上取點的行為稱為[取樣]，
取樣的個數稱為[取樣總數]，
取樣的相鄰兩點xn,xn+1間的距離稱為[取樣距離dxn]
當每個dxn值都相等的時，稱為[等距取樣]
兩個樣本點pn,pn+1之間的距離稱為[樣本距離dpn]
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3.看一下連續的點有哪些

在加入點集時過濾掉相鄰兩點間距離大於直徑的點

/**
 * 兩點間的距離
 * @return
 */
private float dis(float x0, float y0, float x1, float y1) {
    return (float) Math.sqrt((x0 - x1) * (x0 - x1) + (y0 - y1) * (y0 - y1));
}
複製程式碼

/**
 * 遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入對映表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        float dis = dis(x, f(x), x + 1, f(x + 1));//每相鄰兩點間距離
        if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) {
            funMap.put(x, f(x));
        }
    });
複製程式碼

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4.不行連續的點處理思路：

思路也就是在間距處再取樣

/**
 * 遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入對映表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        float dis = dis(x, f(x), x + 1, f(x + 1));//每相鄰兩點間距離
        if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) {
            funMap.put(x, f(x));
        } else if (dis > mLineWidth) {
            float num = dis / mLineWidth;//在切割數
            for (float di = 0; di <= num; di += (1.f / num)) {
                x += di;
                funMap.put(x, f(x));
            }
        }
    });
    //新增所有點
}
複製程式碼

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六、正弦函式的詳細分析

1.正弦函式簡介

其中A，ω，φ，k是常數，且ω≠0
振幅:A
角頻率:ω
週期:T=2π/ω 
頻率:f=1/T=ω/2π
相位:ωx+φ
初相:φ
平衡線：y=k
波峰：最大值|A|
波谷：最小值-|A|
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2.振幅A:離開平衡位置的最大距離

下面橫軸的每格代表90°,化為弧度製表示即：π/2,每四格是360°,即2π

2.1：A=300

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2.2：A=100

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2.3:振幅的作用

決定正弦曲線的波峰與波谷，形象來說就是"高矮" 
振幅越大，波峰越高，波谷越低，每個週期的圖象顯得"高"
複製程式碼

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3.角頻率ω:單位時間內變化的相角弧度值

3.1：ω=2

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3.2：ω=5

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3.3：角頻率的作用

決定正弦曲線的週期，形象來說就是"胖瘦" 
角頻率越大，週期越小，每個週期的圖象顯得"瘦"

ω=2 週期：T = 2π/ω = π 從圖中看，每兩格一週期,即π 
頻率：f = 1/T = 1/π
複製程式碼

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4.初相φ：x=0時的相位

4.1:φ=π/6

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4.2:φ=π/2

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4.3:振幅的作用

相位決定了標準正弦函式的左右偏移:正左偏，負右偏，偏移量：φ/ω
複製程式碼

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5.平衡值k：決定平衡線的位置

5.1:k=100

---

5.2:k=200

5.3:平衡值的作用

平衡值決定標準正弦函式的上下偏移：正上偏，負下偏，偏移量：k
複製程式碼

現在對於幾個正弦函式的引數值已經有了一點了解,本篇結束

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附錄：一些常用符號：

←	↑	→	↓
∪	∩	⊂	⊃
∈	∝	⊆	⊇
∞	θ	ρ	φ
π	α	β	γ
η	μ	ζ	Ω

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後記：捷文規範

1.本文成長記錄及勘誤表

專案原始碼	日期	備註
V0.1-github	2018-1-2	Android繪製函式圖象及正弦函式的介紹

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1----本文由張風捷特烈原創,轉載請註明
2----歡迎廣大程式設計愛好者共同交流
3----個人能力有限，如有不正之處歡迎大家批評指證，必定虛心改正
4----看到這裡，我在此感謝你的喜歡與支援

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