冪平均不等式，冪平均不等式加權形式
討論冪平均不等式我們先了解一個冪函式
| 性質 \\ 函式 y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) |
| 值域 | (0 , +∞) f(x) ＞ 0 |
| 一階導數 | (q/p)*x^( (q-p)/p ) |
| 二階導數 | ( (q² - pq)/p² )*x^( (q - 2p)/p ) |
| p＞q＞0 | 影象性質 凸函式 |
| 0＞p＞q | 影象性質 凹函式 |
| p＞0 , q＜0 | 影象性質 凹函式 |
利用函式 y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) 的性質結合Jensen不
等式來證明冪平均不等式。
回顧Jensen不等式：
Ai ≥ 0時 且 A1 + A2 + ...... + An = 1
若函式f(x)是凹函式則有：
f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≤ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1
若函式f(x)是凸函式則有：
f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≥ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1
等號成立條件 X1 = X2 = ...... = Xn
下面根據Jensen不等式分情況討論 函式y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)
當 0＞p＞q 與 p＞0 , q＜0時 函式y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)為凹函式
設Xi , Ci ＞ 0
即：[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(q/p)
≤ (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn)
不等式兩邊同時 1/q 次方
[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)
≥ [ (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)
當 p＞q＞0時 函式y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)為凸函式
即：[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(q/p)
≥ (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn)
兩邊同時1/q次方
[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)
≥ [ (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)
綜上考慮若p＞q總有：
[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)
≥ [ (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)
等號成立條件X1 = X2 = ...... =Xn
冪平均不等式加權形式得證
對於一般形式的證明只需要C1 = C2 = ...... = Cn = 1即可
既有：
[ (X1^p + X2^p + ...... + Xn^p) / n]^(1/p)
≥ [ (X1^q + X2^q + ...... + Xn^q) / n ]^(1/q)
以上就是對冪平均不等式一般形式和加權形式的論證