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琴生Jensen不等式,條件期望

1. Jensen 不等式

Jensen 不等式的意義是:函式的期望大於等於期望的函式,即

E(f(x))f(E(x))

或者寫成凸函式條件表示式的形式,在這個表示式式中,t 相當於 x1 的概率, (1t) 相當於 x2 的概率:

tf(x1)+(1t)f(x2)f(tx1+(1t)x2)t{0,1}

2. 條件期望

條件期望的表示式,若 X, Y 是兩個變數:

E(XY=y)=xfX|Y(xy)dx=xf(x,y)f(y)dx

其中,
fX|Y(xy)=f(x,y)f(y) 為條件概率密度的定義。

變數的期望可以拆分為可行域之間的條件期望和:

E(x)=P(Bi)E(xBi)