通過交換相鄰數來完成排序所需要的最少交換次數
對一個無序序列進行排序,要求一次只能交換相鄰的兩個數,那麼最少需要交換多少次才可以完成排序呢?
本問題假設序列所有數各不相同。
概念介紹:
1、逆序。一般認為從左向右序列的數字增大認為是正序的,那麼從左到右序列的序列數字出現減小就認為是逆序的。一個“逆序”的數學定義是這樣的,如果存在正整數 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j],則 <A[i], A[j]> 這個有序對稱為 A 的一個逆序,又稱作一個逆序對。
2、逆序數。整個序列中的逆序對的個數叫做序列的逆序數。
3、逆序列。逆序列是表示序列逆序屬性的一個序列,其定義是這樣的,逆序列中的某一項aj表示原序列中的第二成分(左邊成分)為j的逆序對的個數。逆序列中的j需要從小到大正序排列,這樣子組成的序列就叫作逆序列。顯然,逆序列各項之和也是序列的逆序數。
排序方法:
首先,根據待排序列,寫出其逆序列。
然後,根據逆序列中的每一項所代表的數j和逆序個數aj,將待排序列中對應的數j向左鄰交換aj次。
那麼,交換完成後,序列就排序完成。此時,交換的次數就是最少的次數,也是原序列的逆序數。
具體例子:
原序列: 4 8 2 7 5 6 1 3
逆序對有:
(4,2), (4,1), (4, 3),
(8,2), (8,7), (8,5), (8,6), (8,1), (8,3),
(2,1),
(7,5), (7,6), (7,1), (7,3),
(5,1), (5,3),
(6,1), (6,3),
逆序數為18
逆序列為:6 2 5 0 2 2 1 0
交換過程如下:
思考:4 8 2 7 5 6 1 3 (1向左交換6次) 4 8 2 7 5 1 6 3 4 8 2 7 1 5 6 3 4 8 2 1 7 5 6 3 4 8 1 2 7 5 6 3 4 1 8 2 7 5 6 3 1 4 8 2 7 5 6 3 (2向左交換2次) 1 4 2 8 7 5 6 3 1 2 4 8 7 5 6 3 (3向左交換5次) 1 2 4 8 7 5 3 6 1 2 4 8 7 3 5 6 1 2 4 8 3 7 5 6 1 2 4 3 8 7 5 6 1 2 3 4 8 7 5 6 (5向左交換2次) 1 2 3 4 8 5 7 6 1 2 3 4 5 8 7 6 (6向左交換2次) 1 2 3 4 5 8 6 7 1 2 3 4 5 6 8 7 (7向左交換1次) 1 2 3 4 5 6 7 8
上面的過程,其實就是氣泡排序的過程,每一輪都能將最小的數冒到最右邊。所區別的是,氣泡排序是直接兩兩比較、進行交換,而這裡是先找逆序列,然後不比較、直接交換。兩者在程式程式碼上的複雜度是差不多的。這裡提供的一點是最少的交換次數-序列的逆序數。