對一個無序序列進行排序，要求一次只能交換相鄰的兩個數，那麼最少需要交換多少次才可以完成排序呢？

本問題假設序列所有數各不相同。

概念介紹：

1、逆序。一般認為從左向右序列的數字增大認為是正序的，那麼從左到右序列的序列數字出現減小就認為是逆序的。一個“逆序”的數學定義是這樣的，如果存在正整數 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j]，則 <A[i], A[j]> 這個有序對稱為 A 的一個逆序，又稱作一個逆序對。

2、逆序數。整個序列中的逆序對的個數叫做序列的逆序數。

3、逆序列。逆序列是表示序列逆序屬性的一個序列，其定義是這樣的，逆序列中的某一項aj表示原序列中的第二成分（左邊成分）為j的逆序對的個數。逆序列中的j需要從小到大正序排列，這樣子組成的序列就叫作逆序列。顯然，逆序列各項之和也是序列的逆序數。

排序方法：

首先，根據待排序列，寫出其逆序列。

然後，根據逆序列中的每一項所代表的數j和逆序個數aj，將待排序列中對應的數j向左鄰交換aj次。

那麼，交換完成後，序列就排序完成。此時，交換的次數就是最少的次數，也是原序列的逆序數。

具體例子：

原序列： 4 8 2 7 5 6 1 3

逆序對有：

(4,2), (4,1), (4, 3), 
(8,2), (8,7), (8,5), (8,6), (8,1), (8,3), 
(2,1), 
(7,5), (7,6), (7,1), (7,3), 
(5,1), (5,3), 
(6,1), (6,3), 

逆序數為18

逆序列為：6 2 5 0 2 2 1 0

交換過程如下：

 4 8 2 7 5 6 1 3
（1向左交換6次）
 4 8 2 7 5 1 6 3
 4 8 2 7 1 5 6 3
 4 8 2 1 7 5 6 3
 4 8 1 2 7 5 6 3
 4 1 8 2 7 5 6 3
 1 4 8 2 7 5 6 3
（2向左交換2次）
 1 4 2 8 7 5 6 3
 1 2 4 8 7 5 6 3
（3向左交換5次）
 1 2 4 8 7 5 3 6
 1 2 4 8 7 3 5 6
 1 2 4 8 3 7 5 6
 1 2 4 3 8 7 5 6
 1 2 3 4 8 7 5 6
（5向左交換2次）
 1 2 3 4 8 5 7 6
 1 2 3 4 5 8 7 6
（6向左交換2次）
 1 2 3 4 5 8 6 7
 1 2 3 4 5 6 8 7
（7向左交換1次）
 1 2 3 4 5 6 7 8
 

    上面的過程，其實就是氣泡排序的過程，每一輪都能將最小的數冒到最右邊。所區別的是，氣泡排序是直接兩兩比較、進行交換，而這裡是先找逆序列，然後不比較、直接交換。兩者在程式程式碼上的複雜度是差不多的。這裡提供的一點是最少的交換次數-序列的逆序數。