【數學】尤拉恆等式:史上最完美的數學公式，沒有之一!
阿新 • • 發佈：2019-01-02
萊昂哈德·尤拉是18世紀最偉大的數學家之一，也是人類歷史上最傑出的數學家之一。作為一個多產的數學家，尤拉貢獻不可估量，他提出了許多對現代數學不可或缺的概念。
在尤拉的一生中，它出版了885份關於關於數學和其他學科的論文和書籍。即使是後來失明瞭，他仍然筆耕不輟。尤拉在失明之後還打趣地說:"現在我就更不會分心了。" 以勤奮著稱的尤拉，用他那驚人的記憶和心算能力彌補了視力的喪失。在尤拉一生豐碩的成果中，有一個以他名字命名的公式被譽為"上帝創造的公式"，那就是尤拉恆等式。
這個公式以一種極其簡單的方式將數學上不同的分支聯絡起來，其中涵蓋了數學中最重要的幾個常數，這個公式堪稱是最美的數學公式。
(1)其中"e"是自然常數或者尤拉數，這是在微積分中廣泛運用的自然對數的底數。這是一個無理數，也是一個超越數，它的值為2.71828……。
(2)"i"是一個複數或者是虛數單位，也是-1的平方根或者方程"x^2+1=0"的解。虛數在電子工程中極為重要，並且也在量子力學中得到應用。
(3)"π"是圓周率，這個常數不需要任何進一步的介紹，因為這是世人皆知的數學常數，在歐氏幾何學和廣義相對論中無處不在。
(4)自然數"1"， 任何數與之相乘都是本身。
(5)自然數"0"， 任何數與之相加都是本身。
尤拉恆等式就是結合了這五個基本常數而建立的。
由《物理世界》(Physics World)發起的一項調查表明，人們把尤拉恆等式與麥克斯韋方程組一起並稱為"史上最偉大的公式"。物理大師費曼也盛讚這個公式為"數學最非凡的公式"。那麼，尤拉恆等式是如何推匯出來的呢?
事實上，尤拉恆等式如下尤拉公式的一種特殊情況:
只要令θ=π，就能直接得到尤拉恆等式。那麼，上述的尤拉公式又是怎麼來的呢?
這個公式可以通過對e^(iθ)進行泰勒展開得到:
再根據三角函式的泰勒展開:
從而可以得到尤拉公式:
當θ=π時，這個公式就能轉變為我們所熟知的尤拉恆等式。
萊昂哈德·尤拉是18世紀最偉大的數學家之一，也是人類歷史上最傑出的數學家之一。作為一個多產的數學家，尤拉貢獻不可估量，他提出了許多對現代數學不可或缺的概念。
在尤拉的一生中，它出版了885份關於關於數學和其他學科的論文和書籍。即使是後來失明瞭，他仍然筆耕不輟。尤拉在失明之後還打趣地說:"現在我就更不會分心了。" 以勤奮著稱的尤拉，用他那驚人的記憶和心算能力彌補了視力的喪失。在尤拉一生豐碩的成果中，有一個以他名字命名的公式被譽為"上帝創造的公式"，那就是尤拉恆等式。
這個公式以一種極其簡單的方式將數學上不同的分支聯絡起來，其中涵蓋了數學中最重要的幾個常數，這個公式堪稱是最美的數學公式。
(1)其中"e"是自然常數或者尤拉數，這是在微積分中廣泛運用的自然對數的底數。這是一個無理數，也是一個超越數，它的值為2.71828……。
(2)"i"是一個複數或者是虛數單位，也是-1的平方根或者方程"x^2+1=0"的解。虛數在電子工程中極為重要，並且也在量子力學中得到應用。
(3)"π"是圓周率，這個常數不需要任何進一步的介紹，因為這是世人皆知的數學常數，在歐氏幾何學和廣義相對論中無處不在。
(4)自然數"1"， 任何數與之相乘都是本身。
(5)自然數"0"， 任何數與之相加都是本身。
尤拉恆等式就是結合了這五個基本常數而建立的。
由《物理世界》(Physics World)發起的一項調查表明，人們把尤拉恆等式與麥克斯韋方程組一起並稱為"史上最偉大的公式"。物理大師費曼也盛讚這個公式為"數學最非凡的公式"。那麼，尤拉恆等式是如何推匯出來的呢?
事實上，尤拉恆等式如下尤拉公式的一種特殊情況:
只要令θ=π，就能直接得到尤拉恆等式。那麼，上述的尤拉公式又是怎麼來的呢?
這個公式可以通過對e^(iθ)進行泰勒展開得到:
再根據三角函式的泰勒展開:
從而可以得到尤拉公式:
當θ=π時，這個公式就能轉變為我們所熟知的尤拉恆等式。