bzoj5093:圖的價值（第二類斯特林數+NTT）
阿新 • • 發佈：2019-01-02
首先，題目所求為\[n\times 2^{C_{n-1}^2}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\]
即對於每個點\(i\)，列舉它的度數，然後計算方案。因為有\(n\)個點，且關於某個點連邊的時候剩下的邊都可以隨便連，所以有前面的兩個常數
所以真正要計算的是\[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\]
根據第二類斯特林數的性質，有\[i^k=\sum_{j=0}^iS(k,j)\times j!\times C_i^j\]
然後帶入，得\[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i\sum_{j=0}^iS(k,j)\times j!\times C_i^j\]
把\(j\)提到前面來\[\sum_{j=0}^{n-1}j!\times S(k,j)\sum_{i=j}^{n-1}C_{n-1}^iC_i^j\]
後面那個\(\sum_{i=j}^{n-1}C_{n-1}^iC_i^j\)，可以理解為從\(n-1\)個數中選\(i\)個，再從這\(i\)箇中選\(j\)個的方案數，等價於這\(j\)個必選，剩下的\(n-1-i\)個可選可不選，於是有\[\sum_{j=0}^{n-1}j!\times S(k,j)\times C_{n-1}^j\times 2^{n-j-1}\]
\[\sum_{j=0}^{n-1}S(k,j)\times \frac{(n-1)!}{(n-1-j)!}\times 2^{n-j-1}\]
然後因為第二類斯特林數的通項公式為\[S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^{m}(-1)^kC(m,k)(m-k)^n\]
\[S(n,m)=\sum_{k=0}^{m}\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(m-k)^n}{(m-k)!}\]
於是第二類斯特林數也能表示成卷積的形式，對於\(S(k,j)\)，當\(j>k\)時恆為\(0\)，所以只要計算到\(k\)位置即可。預處理出第二類斯特林數，然後更新答案，複雜度為\(O(k\log k)\)
//minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define ll long long #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v) using namespace std; char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;} int read(){ R int res,f=1;R char ch; while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1); for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0'); return res*f; } char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0; inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;} void print(R int x){ if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x; while(z[++Z]=x%10+48,x/=10); while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n'; } const int N=6e5+5,P=998244353,Gi=332748118; inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;} inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;} inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;} int ksm(R int x,R ll y){ R int res=1; for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x); return res; } int A[N],B[N],O[N],r[N],S[N],fac[N],inv[N]; int n,m,lim,l,k,ans; void NTT(int *A,int ty){ fp(i,0,lim-1)if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]); for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1){ R int I=(mid<<1),Wn=ksm(ty==1?3:Gi,(P-1)/I);O[0]=1; fp(i,1,mid-1)O[i]=mul(O[i-1],Wn); for(R int j=0;j<lim;j+=I)fp(k,0,mid-1){ int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]); A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y); } }if(ty==-1)for(R int i=0,inv=ksm(lim,P-2);i<lim;++i)A[i]=mul(A[i],inv); } int main(){ // freopen("testdata.in","r",stdin); n=read(),k=read(); fac[0]=inv[0]=1; fp(i,1,k)fac[i]=mul(fac[i-1],i); inv[k]=ksm(fac[k],P-2);fd(i,k-1,1)inv[i]=mul(inv[i+1],i+1); fp(i,0,k){ A[i]=i&1?P-inv[i]:inv[i]; B[i]=mul(ksm(i,k),inv[i]); }lim=1;while(lim<=k+k)lim<<=1,++l; fp(i,0,lim-1)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)); NTT(A,1),NTT(B,1); fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],B[i]); NTT(A,-1); fp(i,0,k)S[i]=A[i]; int inv2=ksm(2,P-2); for(R int i=0,j=ksm(2,n-1),p=1;i<=min(n-1,k);++i){ ans=add(ans,1ll*S[i]*j%P*p%P); j=mul(j,inv2),p=mul(p,n-i-1); } ans=mul(ans,n),ans=mul(ans,ksm(2,1ll*(n-1)*(n-2)/2)); printf("%d\n",ans);return 0; }