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BZOJ 5093: 圖的價值 第二類斯特林數$O(n \log n)$

阿新 • • 發佈：2019-01-13

簡單題意

一個帶標號的圖的價值定義為每個點度數的 k ( < = 2 e 5 )

k(<=2e5) 次方的和。
n ( < = 1 e 9
) n(<=1e9) 個點的帶標號的簡單無向圖的價值之和 ( m o d
998244353 ) \pmod {998244353}

題解

每個點只有標號之別，故只需要求出一個點的價值之和 × n \times n 即可。
a n s = n ∗ 2 C ( n − 1 , 2 ) ∗ ∑ i = 0 n − 1 C ( n − 1 , i ) ∗ i k ∑ i = 0 n − 1 C ( n − 1 , i ) ∗ i k = ∑ i = 0 n − 1 C ( n − 1 , i ) ∗ ∑ j = 0 k s t r 2 ( k , j ) ∗ j ! ∗ C ( i , j ) = ∑ j = 0 k s t r 2 ( k , j ) ∗ j ! ∗ ∑ i = j n − 1 C ( n − 1 , i ) ∗ C ( i , j ) = ∑ j = 0 k s t r 2 ( k , j ) ∗ j ! ∗ C ( n − 1 , j ) ∗ ∑ i = 0 n − 1 − j C ( n − 1 − j , i ) = ∑ j = 0 k s t r 2 ( k , j ) ∗ j ! ∗ C ( n − 1 , j ) ∗ 2 n − 1 − j \begin{aligned} &ans =n * 2^{C(n-1,2)}*\sum_{i=0}^{n-1} C(n-1,i) * i^k\\ &\sum_{i=0}^{n-1} C(n-1,i) * i^k = \sum_{i=0}^{n-1} C(n-1,i) * \sum_{j=0}^{k} str2(k,j) * j! * C(i,j)\\ &=\sum_{j=0}^{k}str2(k,j) * j! * \sum_{i=j}^{n-1}C(n-1,i) * C(i,j)\\ &=\sum_{j=0}^{k}str2(k,j) * j! * C(n-1,j) * \sum_{i=0}^{n-1-j} C(n-1-j,i)\\ &=\sum_{j=0}^{k}str2(k,j) * j! * C(n-1,j) * 2^{n-1-j} \end{aligned}
計算第二類斯特林數即可。
容斥原理可得：
s t r 2 ( n , k ) = 1 k ! ∑ i = 0 k C ( k , i ) ∗ ( k − i ) n ∗ ( − 1 ) i = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i i ! ∗ ( k − i ) n ( k − i ) ! str2(n,k) = \frac 1{k!}\sum_{i=0}^k C(k,i) * (k-i)^n*(-1)^i = \sum_{i=0}^k\frac {(-1)^i}{i!}*\frac {(k-i)^n}{(k-i)!}
化為EGF就行了。
F F T   O ( n log ⁡ n ) FFT \ O(n \log n)

AC Code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define maxn 600005
#define mod 998244353
#define LL long long
using namespace std;

int n,k;
const int inv2 = (mod + 1) / 2;
int w[maxn]={1},r[maxn],lg[maxn],wlen,inv[maxn]={1,1},fac[maxn]={1,1},invf[maxn]={1,1};
int Pow(int base,LL k)
{
	int ret = 1;
	for(;k;k>>=1,base=1ll*base*base%mod) 
		if(k&1) 
			ret = 1ll * ret * base % mod;
	return ret;
}
void Init(int n)
{
	for(wlen=1;n>=2*wlen;wlen<<=1);
	for(int i=1,pw=Pow(3,(mod-1)/(2*wlen));i<=2*wlen;i++) w[i] = 1ll * w[i-1] * pw % mod;
	for(int i=2;i<=2*wlen;i++)	
		lg[i] = lg[i>>1] + 1,
		fac[i 
 

            
  

           

              
              

            

            
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BZOJ 5093: 圖的價值 第二類斯特林數$O(n \log n)$

     
  
 
  
  
 簡單題意 
 一個帶標號的圖的價值定義為每個點度數的
     
      
       
        
         k
        
        
         (
        
        
         &lt;
        
   



  
 

    


    
    
bzoj 5093 圖的價值 —— 第二類斯特林數+NTT

     
 題目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 
每個點都是等價的，從點的貢獻來看，得到式子： 
\( ans = n * \sum\limits_{d=0}^{n-1} d^{k} * 2^{C_{n-1}^{2}} * C_{n-1}^{d 



  
 

    


    
    
bzoj 4555 [Tjoi2016&Heoi2016]求和——NTT+第二類斯特林數

     
 題目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555 
第二類斯特林數展開式： 
\( S(i,j) = \frac{1}{j!} \sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^{k}C_{j}^{k}(j-k)^{i} \) 
大概是容斥列舉 



  
 

    


    
    
Gym Gym 101147G 第二類斯特林數

     
 event   for   cnblogs   color   ide   hide   col   problem   pan   題目鏈接：http://codeforces.com/gym/101147/problem/G
題意：n個人，去參加k個遊戲，k個遊戲必須非空，有多少種放法?
分析： 第二 



  
 

    


    
    
HDU4045-第二類斯特林數

     
 clu   math   cnblogs   mat   tin   ring   tdi   [0   ios   題意
有n臺機器，每天選擇r臺，要求任意兩臺編號差值不小於k，並且r臺機器分成不超過m組。求不重樣的選擇有多少種組合（可以選多少天）。
數據範圍$1\leqslant n,r,k,m\leqs 



  
 

    


    
    
hdu 2643 rank 第二類斯特林數

     
 ini   using   cout   cin   type   log   ios   cnblogs   sum   題意：給定n個人，要求這n個人的所有可能排名情況，可以多個人並列（這個是關鍵）。
題解：由於存在並列的問題，那麽對於n個人，我們最多有n個排名，枚舉一下1~n，累加一下就好。（註意這裏是 



  
 

    


    
    
第二類斯特林數

     
 one   width   公式   OS   bds   RM   圖片   you   display   第二類斯特林數是將n個不同的球放入m個無差別的盒子中，
並且要求盒子非空的方案數。
1.通項公式為：

 
2.遞推公式：
 
證明如下：
假設要把n+1個球放入m個盒子裏則分析如下：
（1）如果n 



  
 

    


    
    
[HEOI2016/TJOI2016]求和——第二類斯特林數

     
 給你斯特林數就換成通項公式，給你k次方就換成斯特林數 
考慮換成通項公式之後，組合數沒有什麼好的處理方法 
直接拆開，消一消階乘 
然後就發現了(j-k)和k！ 
往NTT方向靠攏 
然後大功告成 
  
其實只要想到把斯特林公式換成通項公式，考慮用NTT優化掉(j-k)^i 
後面都是套路了。 
 



  
 

    


    
    
CF932E Team Work——第二類斯特林數

     
  
  
題解 
n太大，而k比較小，可以O(k^2)做 
想方設法爭取把有關n的迴圈變成O(1)的式子 
考慮用公式： 
 
來替換i^k 
原始的組合數C(n,i)一項，考慮能否和後面的係數分離開來，直接變成2^n處理。 
之後大力推式子 
考慮要消掉n，就想辦法把n往裡面放，與和n有關的項外層 



  
 

    


    
    
HDU4625 JZPTREE——第二類斯特林數

     
  
複雜度大概O(nk) 
一些嘗試：1.對每個點推出1,2,3，，，到k次方的值。但是臨項遞推二項式展開也要考慮到具體每個點的dist 
2.相鄰k次方遞推呢？遞推還是不能避免k次方的展開 
k次方比較討厭，於是考慮用斯特林數處理 
 
  
  
 轉化成求k個後面這個C(d 



  
 

    


    
    
HDU2643 Rank 第二類斯特林數

     
 
								
								            
							
							
							第二類斯特林數

把一個包含n個元素的集合分成k個非空子集的方法數： 
初始值： 
S2(n,0)=0,S2(n,k)=0(n<k) 
S2(n,1)=S2(n,n)=1 
遞推式： 
S2(n, 



  
 

    


    
    
NOIP 衝刺：常見的遞推之第二類斯特林數

     
 
								
								            
							
							
							第二類斯特林數 
例題： 
給定n 個有標號的球，標號依次為1，2，…，n。將這n個球放入r 個相同的盒子裡，不允許有空盒，問有多少种放置方法。 
    例如把4個球放入2個盒子有7種方法，這7 種不 



  
 

    


    
    
【BZOJ5093】圖的價值（第二類斯特林數，組合數學，NTT）

     
 ble   math   n)   .cn   fin   eve   都是   max   online   【BZOJ5093】圖的價值（第二類斯特林數，組合數學，NTT）
題面
BZOJ
題解
單獨考慮每一個點的貢獻：
因為不知道它連了幾條邊，所以枚舉一下
\[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n- 



  
 

    


    
    
BZOJ5093 [Lydsy1711月賽]圖的價值  【第二類斯特林數 + NTT】

     
 size   init   ret   計算   怎麽   math   red   ini   ()   題目鏈接
BZOJ5093
題解
點之間是沒有區別的，所以我們可以計算出一個點的所有貢獻，然後乘上\(n\)
一個點可能向剩余的\(n - 1\)個點連邊，那麽就有
\[ans = 2^{{n - 1  



  
 

    


    
    
[bzoj5093][第二類斯特林數][NTT]圖的價值

     
  
 
  
  
 Description 
  
  “簡單無向圖”是指無重邊、無自環的無向圖（不一定連通）。 一個帶標號的圖的價值定義為每個點度數的k次方的和。 給定n和k，請計算所有n個點的帶標號的簡單無向圖的價值之和。 因為答案很大，請對998244353取模輸出。 
  
 Input 
  
  



  
 

    


    
    
bzoj5093:圖的價值（第二類斯特林數+NTT）

     
 傳送門 
首先，題目所求為\[n\times 2^{C_{n-1}^2}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 即對於每個點\(i\)，列舉它的度數，然後計算方案。因為有\(n\)個點，且關於某個點連邊的時候剩下的邊都可以隨便連，所以有前面的兩個常數 
所以真正要計算的是\[\sum_{ 



  
 

    


    
    
BZOJ 2159: Crash 的文明世界（樹形dp+第二類斯特林數+組合數）

     
 tchar   cpp   def   tmp   %d   ifdef   gpo   組合數   const   
題意：

給定一棵 \(n\) 個點的樹和一個常數 \(k\) , 對於每個 \(i\) , 求
\[\displaystyle S(i) = \sum _{j=1} ^ {n} \math 



  
 

    


    
    
bzoj 4555  [Tjoi2016&Heoi2016]求和 NTT 第二類斯特林數 等比數列求和優化

     
 src   algo   names   AI   space   efi   get   com   name   
[Tjoi2016&Heoi2016]求和
Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 679  Solved: 534[Su 



  
 

    


    
    
BZOJ 2159: Crash 的文明世界(組合數學+第二類斯特林數+樹形dp)

     
 傳送門 
解題思路 
　　比較有意思的一道數學題。首先\(n*k^2\)的做法比較好想，就是維護一個\(x^i\)這種東西，然後轉移的時候用二項式定理拆開轉移。然後有一個比較有意思的結論就是把求\(x^i\)這種東西變成組合數去求，具體來說就是\(n^k=\sum\limits_{i=1}^k\dbinom{ 



  
 

    


    
    
bzoj 4555 [Tjoi2016&Heoi2016] 求和 —— 第二類斯特林數+NTT

     
 題目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555 
關於第二類斯特林數：https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8638858.html 
關於這道題：https://blog.csdn.net/werkeyto