題目

輸入一個正整數數N，輸出所有和為N連續正整數序列。例如輸入15，由於1+2+3+4+5=4+5+6=7+8=15，所以輸出3個連續序列1-5、4-6和7-8。

一種運用數學規律的解法

假定有k個連續的正整數和為N，其中連續序列的第一個數為x，則有x+(x+1)+(x+2)+...+(x+k-1) = N。從而可以求得x = (N - k*(k-1)/2)  /  k。當x的值小於等於0時，則說明已經沒有正整數序列的和為N了，此時迴圈退出。初始化k=2，表示2個連續的正整數和為N，則可以求出x的值，並判斷從x開始是否存在2個連續正整數和為N，若不存在則k++，繼續迴圈。

1. bool find_sequence(
   int N)   
2. {  
3.     bool has = false;  
4.     int k = 2, x, m ;  //k為連續序列的數目，x為起始的值，m用於判斷是否有滿足條件的值。
5.     while (true) {   
6.         x = (N - k*(k-1)/2) / k;  //求出k個連續正整數和為N的起始值x
7.         m = (N - k*(k-1)/2) % k; //m用於判斷是否有滿足條件的連續正整數值
8.         if (x <= 0) break;    //退出條件，如果x<=0，則迴圈退出。
9.         if (!m) {             
   //m為0，表示找到了連續子序列和為N。
10.             has = true;  
11.             output(x, k);  
12.         }  
13.         k++;  
14.     }  
15.     return has;  
16. }  
17. void output(int x, int k)   
18. {  
19.     for (int i=0; i<k; i++) {  
20.         cout << x++ << " ";  
21.     }  
22.     cout << endl;  
23. }  

擴充套件

問題：是不是所有的正整數都能分解為連續正整數序列呢？

答案：不是。並不是所有的正整數都能分解為連續的正整數和，如32就不能分解為連續正整數和。對於奇數，我們總是能寫成2k+1的形式，因此可以分解為[k,k+1]，所以總是能分解成連續正整數序列。對於每一個偶數，均可以分解為質因數之積，即n = pow(2, i)*pow(3, j)*pow(5,k)...，如果除了i之外，j,k...均為0，那麼n = pow(2, k)，對於這種數，其所有的因數均為偶數，是不存在連續子序列和為n的，具體證明請看參考資料2。因此除了2的冪之外，所有的正整數n >=3均可以寫成一個連續的自然數之和。

另外一種解法

何海濤先生的部落格上有另外一種解法，參考如下：

用兩個數small和big分別表示序列的最小值和最大值。首先把small初始化為1，big初始化為2。如果從small到big的序列的和大於n的話，我們向右移動small，相當於從序列中去掉較小的數字。如果從small到big的序列的和小於n的話，我們向右移動big，相當於向序列中新增big的下一個數字。一直到small等於(1+n)/2，因為序列至少要有兩個數字。

更直白一點的理解就是先判定以數字2結束的連續序列和是否有等於n的，然後是以3結束的連續序列和是否有等於n的。

1. /////////////////////////////////////////////////////////////////////////
2. // Find continuous sequence, whose sum is n
3. /////////////////////////////////////////////////////////////////////////
4. void FindContinuousSequence(int n)  
5. {  
6.       if(n < 3)  
7.             return;  
8.       int small = 1;   
9.       int big = 2;  
10.       int middle = (1 + n) / 2;  
11.       int sum = small + big;  
12.       while(small < middle)  
13.       {  
14.             // we are lucky and find the sequence
15.             if(sum == n)  
16.                   PrintContinuousSequence(small, big);  
17.             // if the current sum is greater than n, 
18.             // move small forward
19.             while(sum > n)  
20.             {  
21.                   sum -= small;  
22.                   small ++;  
23.                   // we are lucky and find the sequence
24.                   if(sum == n)  
25.                         PrintContinuousSequence(small, big);  
26.             }  
27.             // move big forward
28.             big ++;  
29.             sum += big;  
30.       }  
31. }  
32. /////////////////////////////////////////////////////////////////////////
33. // Print continuous sequence between small and big
34. /////////////////////////////////////////////////////////////////////////
35. void PrintContinuousSequence(int small, int big)  
36. {  
37.       for(int i = small; i <= big; ++ i)  
38.             printf("%d ", i);  
39.       printf("\n");  
40. }  

參考資料