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n個數依次入棧，出棧順序有多少種？

阿新 • • 發佈：2019-01-03

這個問題是卡特蘭數的第n項結果。

卡特蘭數

　　卡特蘭數前幾項為 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

　　例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2 　　h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5 　　另類遞推式：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); 　　遞推關係的解為： h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...) 　　遞推關係的另類解為： h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=1,2,3,...)

本題目的常規分析

　　首先，我們設f（n）=序列個數為n的出棧序列種數。同時，我們假定第一個出棧的序數是k。 　　第一個出棧的序數k將1~n的序列分成兩個序列，其中一個是1~k-1，序列個數為k-1，另外一個是k+1~n，序列個數是n-k。
　　此時，我們若把k視為確定一個序數，那麼根據乘法原理，f（n）的問題就等價於——序列個數為k-1的出棧序列種數乘以序列個數為n - k的出棧序列種數，即選擇k這個序數的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以選1到n，所以再根據加法原理，將k取不同值的序列種數相加，得到的總序列種數為：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。 　　看到此處，再看看卡特蘭數的遞推式，答案不言而喻，即為f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=1，2，3，……）。 　　最後，令f（0）=1，f（1）=1。 　　非常規分析
　　對於每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀態‘1’，出棧設為狀態‘0’。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1‥n的順序排列、入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃描由n個1和n個0組成的2n位二進位制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。 　　在2n位二進位制數中填入n個1的方案數為c(2n,n),不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數大於1的累計數）的方案數即為所求。 　　不符合要求的數的特徵是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。 　　反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進位制數，由於0的個數多2個，2n為偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應一個不符合要求的數。 　　因而不合要求的2n位數與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應。 　　顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。 　　類似問題 買票找零 　　有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)

最終結果：C(2n,n)-C(2n,n+1)

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