近日在複習資料結構，看到棧的時候，發現1個元素進棧，有1種出棧順序；2個元素進棧，有2種出棧順序；3個元素進棧，有5種出棧順序，那麼一個很自然地問題就是n個元素進棧，共有多少種出棧順序？

說來慚愧，以前學資料結構的時候竟然沒有考慮過這個問題。最近在看動態規劃，所以“子問題”這3個字一直在我腦中徘徊，於是解決這個問題的時候我也是用類似“子問題”的方法，說白了就是遞推公式。

我們把n個元素的出棧個數的記為f(n), 那麼對於1,2,3, 我們很容易得出：

f(1) = 1     //即 1

f(2) = 2    //即 12、21

                                     f(3) = 5

然後我們來考慮f(4), 我們給4個元素編號為a,b,c,d, 那麼考慮：元素a只可能出現在1號位置，2號位置，3號位置和4號位置(很容易理解，一共就4個位置，比如abcd,元素a就在1號位置)。

分析：

 1) 如果元素a在1號位置，那麼只可能a進棧，馬上出棧，此時還剩元素b、c、d等待操作，就是子問題f(3)；

 2) 如果元素a在2號位置，那麼一定有一個元素比a先出棧，即有f(1)種可能順序（只能是b），還剩c、d，即f(2)，     根據乘法原理，一共的順序個數為f(1) * f(2)；

 3) 如果元素a在3號位置，那麼一定有兩個元素比1先出棧，即有f(2)種可能順序（只能是b、c），還剩d，即f(1)，

    根據乘法原理，一共的順序個數為f(2) * f(1)；

 4) 如果元素a在4號位置，那麼一定是a先進棧，最後出棧，那麼元素b、c、d的出棧順序即是此小問題的解，即         f(3)；

結合所有情況，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

為了規整化，我們定義f(0) = 1；於是f(4)可以重新寫為：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然後我們推廣到n，推廣思路和n=4時完全一樣，於是我們可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

即