題目

現有一根長度為N的繩子，需要你剪成M段，使M段的乘積最大。（其中M、N都為整數，剪成的每段長度也為整數，N已知，M未知）。例如長度為8的繩子，當剪為3段乘積最大，即2*3*3=18.

思路

看到這種求最優解的題型，你就應該思考一下動態規劃是否適合。這個繩子我可以一次一次的剪，第一次剪成兩段，這就變成兩根新繩子，只要我分別知道這兩根新繩子最大的乘積，那麼我就知道了整條繩子的最大乘積了，這就將一個問題，劃分為兩個子問題了，且各子問題之間相互獨立，滿足最優子結構，因此可以使用動態規劃

首先確定邊界條件和狀態轉移方程：

• 當繩子長度為1時，最大乘積為0
• 當繩子長度為2時，可以剪成1*1，最大乘積為1
• 當繩子長度為3時，可以剪成（1*2，1*1*1），最大乘積為2
• 當繩子長度為4時，可以剪成（1*1*1*1, 1*2*1, 2*2, 1*3），最大乘積為4
• 當繩子長度為5時，可以剪成（1*1*1*1*1， 1*2*2， 3*2, 1*2*1*1, 1*3*1，1*4），最大乘積為6

我們可以看到，當繩子長度n大於等於4時，f(n) = max( f(i) * f(n-i) )，其中1 < i <= [n/2]，因此我們可以用遍歷來實現狀態轉移方程

程式碼

function LineMax(n){
    if (n<=1) return 0;
    if (n==2
 
) return 1;
    if (n==3) return 2;
    const a =[0,1,2,3];      //排出前面的邊界條件，第i項表示長度為i的繩子的最大乘積
    const b =[[0],[1],[2],[3]];     //第i項表示，長度為i繩子的最大乘積組合
    for (var i=4;i<=n;i++){
        a[i] = 0;    //初始化
        for (var j=1;j<= n/2;j++){  //迴圈找出最大乘積及組合並分別記錄在a，b陣列中
            if (a[j]*a[i-j] >a[i]){  
                a[i] = a[j]*a[i-j];
                b[i] = [...b[j], ...b[i-j]];
            }
        }
    }
    console.log(a[n]);  //輸出長度為n的繩子最大乘積
 

    console.log(b[n]);   //輸出長度為n的繩子最大乘積時的劃分組合
}