1.全排列的定義和公式：

從n個數中選取m（m<=n）個數按照一定的順序進行排成一個列，叫作從n個元素中取m個元素的一個排列。由排列的定義，顯然不同的順序是一個不同的排列。從n個元素中取m個元素的所有排列的個數，稱為排列數。從n個元素取出n個元素的一個排列，稱為一個全排列。全排列的排列數公式為n!，通過乘法原理可以得到。

2.時間複雜度：

n個數（字元、物件）的全排列一共有n!種，所以全排列演算法至少時間O(n!)$O(n!)$的。如果要對全排列進行輸出，那麼輸出的時間要O(n∗n!)$O(n\ast n!)$，因為每一個排列都有n個數據。所以實際上，全排列演算法對大型的資料是無法處理的，而一般情況下也不會要求我們去遍歷一個大型資料的全排列。

3.列出全排列的初始思想：

解決一個演算法問題，我比較習慣於從基本的想法做起，我們先回顧一下我們自己是如何寫一組數的全排列的：1，3，5，9（為了方便，下面我都用數進行全排列而不是字元）。
【1，3，5，9】（第一個）
首先保持第一個不變，對【3，5，9】進行全排列。
同樣地，我們先保持3不變，對【5，9】進行全排列。
保持5不變，對9對進行全排列，由於9只有一個，它的排列只有一種：9。
故排列為【1，3，5，9】
接下來5不能以5打頭了，5，9相互交換，得到
【1，3，9，5】
此時5，9的情況都寫完了，不能以3打頭了，得到

1，5，3，9
1，5，9，3
1，9，3，5
1，9，5，3
 

這樣，我們就得到了1開頭的所有排列，這是我們一般的排列數生成的過程。再接著是以3、5、9打頭，得到全排列。

我們現在做這樣的一個假設，假設給定的一些序列中第一位都不相同，那麼就可以認定說這些序列一定不是同一個序列，這是一個很顯然的問題。有了上面的這一條結論，我們就可以同理得到如果在第一位相同，可是第二位不同，那麼在這些序列中也一定都不是同一個序列。
那麼，這個問題可以這樣來看。對

T=【$T=【$x1,$x_1,$x2,x3,x4,x5,........xn−1,xn】$x_2,x_3,x_4,x_5,........x_{n-1},x_n】$

我們獲得了在第一個位置上的所有情況之後(注：是所有的情況)，對每一種情況，抽去序列

T1=【x2,x3,x4,x5,........xn−1,xn】$T_1=【x_2,x_3,x_4,x_5,........x_{n-1},x_n】$

序列T1$T_1$可以認為是與之前的序列毫無關聯了。同樣的，我們可以對這個T1$T_1$進行與T$T$相同的操作，直到T$T$中只一個元素為止。這樣我們就獲得了所有的可能性。所以很顯然，這是一個遞迴演算法。

第一位的所有情況：無非是將x1$x_1$與後面的所有數x2,x3,.......xn$x_2,x_3,.......x_n$依次都交換一次

示意圖如下：

4.全排列的非去重遞迴演算法

演算法思路：全排列可以看做固定前i位，對第i+1位之後的再進行全排列，比如固定第一位，後面跟著n-1位的全排列。那麼解決n-1位元素的全排列就能解決n位元素的全排列了，這樣的設計很容易就能用遞迴實現。

【附程式碼段：】

#include<iostream>
using namespace std;
int arr[5]={0,1,2,3,4};
void swap(int x,int y)//用於交換陣列的兩個數
{
    int temp=arr[x];
    arr[x]=arr[y];
    arr[y]=temp;
}
int resove(int n)//遞迴函式
{
        if(n==5)//當嘗試對不存在的陣列元素進行遞迴時，標明所有數已經排列完成，輸出。
        {
            for(int i=0;i<5;i++)
            cout<<arr[i]; 
            cout<<endl;
            return 0;
        }
        for(int i=n;i<5;i++)//迴圈實現交換和之後的全排列  
        {//i是從n開始 i=n;swap(n,i)相當於固定當前位置，在進行下一位的排列。
            swap(n,i);
            resove(n+1);
            swap(n,i); 
        }

}
int main()
{
    resove(0);
}

排列模板

void permutation1(char* str,int sbegin,int send)    //全排列的非去重遞迴演算法  
    {  
        if( sbegin == send) //當 sbegin = send時輸出  
        {  
            for(int i = 0;i <= send; i++)   //輸出一個排列  
                cout << str[i];  
            cout << endl;  
        }  
        else  
        {  
            for(int i = sbegin; i <= send; i++) //迴圈實現交換和sbegin + 1之後的全排列  
            {  
                swap(str[i],str[sbegin]);   //把第i個和第sbegin進行交換  
                permutation1(str,sbegin + 1,send);  
                swap(str[i],str[sbegin]);   //【注1】交換回來  
            }  
        }  
    }  

【注1】swap(str[i],str[sbegin])//交換回來
我們來仔細推敲一下迴圈體裡的程式碼，當我們對序列進行交換之後，就將交換後的序列除去第一個元素放入到下一次遞迴中去了，遞迴完成了再進行下一次迴圈。這是某一次迴圈程式所做的工作，這裡有一個問題，那就是在進入到下一次迴圈時，序列是被改變了。可是，如果我們要假定第一位的所有可能性的話，那麼，就必須是在建立在這些序列的初始狀態一致的情況下,所以每次交換後，要還原，確保初始狀態一致。