KMP用於求b串在a串的出現位置（字串匹配）。我們通過一道題來講講KMP的演算法過程。
【HDU 1711】給定兩個數字串a、b。求b在a第一次出現的位置。若沒出現輸出-1。
一般的暴力演算法就是暴力匹配。若有一個位置匹配失敗，則回溯後重新匹配。時間複雜度高達 $O\left(nm\right)$

舉一個例子。若現在有一個串：
abababa
其字首有：
a
ab
aba
abab
ababa
ababab
字尾有：
a
ba
aba
baba
ababa
ababab
字首字尾公共子串有：
a
aba
ababa
（原串本身不能作為字首字尾公共子串）

於是，我們用nxt[i]表示若在b的i處匹配失敗，應該再從哪裡開始匹配。這個陣列可以用遞推搞定。特殊地，nxt[0]=-1
首先，由上面的分析可知，nxt[i]就相當於b前i-1個元素的最長字首字尾公共子串的長度。
考慮已求出前i-1個nxt[i]。那麼就判斷第i-1個字元是否能加入到i-2的最長字首字尾公共子串中。如果能，就有nxt[i]=nxt[i-1]+1。否則，令j=nxt[i-1]，重複上述過程。
講得不是很清楚，但看看程式碼應該就能明白：

		nxt[0] = -1;
        for(i = 1; i < m; i++)
        {
            j =
 
 nxt[i - 1];
            while(j != -1 && b[i - 1] != b[j])
                j = nxt[j];
            nxt[i] = j + 1;
        }

然後用nxt[i]計算匹配位置：

for(i = j = 0; i <= n; i++, j++)
       {
           if(j == m)
           {
               printf("%d\n", i - j + 1);
               break;
           }
           if(i == n)
           {
               puts("-1");
               break;
           }
           while(j != -1 && a[i] != b[j])
               j = nxt[j];
       }

題目的完整程式碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mn = 1000005, mm = 10005;
int a[mn], b[mm], nxt[mm];
int main()
{
   int t, n, m, i, j;
   scanf("%d", &t);
   while(t--)
   {
       scanf("%d%d", &n, &m);
       for(i = 0; i < n; i++)
           scanf("%d", &a[i]);
       for(i = 0; i < m; i++)
           scanf("%d", &b[i]);
       if(n < m)
       {
           puts("-1");
           continue;
       }
       nxt[0] = -1;
       for(i = 1; i < m; i++)
       {
           j = nxt[i - 1];
           while(j != -1 && b[i - 1] != b[j])
               j = nxt[j];
           nxt[i] = j + 1;
       }
       for(i = j = 0; i <= n; i++, j++)
       {
           if(j == m)
           {
               printf("%d\n", i - j + 1);
               break;
           }
           if(i == n)
           {
               puts("-1");
               break;
           }
           while(j != -1 && a[i] != b[j])
               j = nxt[j];
       }
   }
}

附：時間複雜度分析：
計算匹配位置部分顯然為 $O(n)$
預處理nxt[i]時，根據其構造方法可知，每一個位置最多會被當做“跳板”1次。這樣，內層處理的平攤複雜度為 $O(1)$。於是預處理部分為 $O(m)$，總時間複雜度為 $O(n+m)$